Exercice 58

Calculer les expressions suivantes :

1. \[ (-2)^3 + (-1)^5 + (+3)^2 \]

2. \[ (-1)^3 + (+3)^2 - (-6)^2 \]

3. \[ (+7)^2 - (-1)^7 - (-3)^2 \]

4. \[ (-1)^2 - (+1)^3 + (-1)^7 \]

5. \[ (-1)^6 - (-1)^8 \]

Réponse

Réponses : 1) 0  2) -28  3) 41  4) -1  5) 0.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chacune des expressions :

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1) Calcul de \(\displaystyle (-2)^3 + (-1)^5 + (+3)^2\)

1. Calcul de \((-2)^3\)
   Lorsque l’on élève \(-2\) à la puissance 3, on effectue la multiplication suivante :
   \[ (-2) \times (-2) \times (-2) \]
   En multipliant deux fois :
   \(-2 \times -2 = 4\),
   puis \(4 \times -2 = -8\).
   On obtient donc :
   \[ (-2)^3 = -8. \]

2. Calcul de \((-1)^5\)
   Pour \(-1\) élevé à la puissance 5 (puissance impaire), le résultat garde le signe négatif :
   \[ (-1)^5 = -1. \]

3. Calcul de \((+3)^2\)
   Élever \(3\) au carré revient à multiplier 3 par lui-même :
   \[ 3 \times 3 = 9. \]

4. Somme des résultats
   On additionne les trois valeurs obtenues :
   \[ -8 + (-1) + 9. \]
   D’abord, \(-8 + (-1) = -9\).
   Ensuite, \(-9 + 9 = 0\).

Réponse pour la première expression :
\[ \boxed{0} \]

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2) Calcul de \(\displaystyle (-1)^3 + (+3)^2 - (-6)^2\)

1. Calcul de \((-1)^3\)
   De même que précédemment, pour une puissance impaire,
   \[ (-1)^3 = -1. \]

2. Calcul de \((+3)^2\)
   On a :
   \[ 3 \times 3 = 9. \]

3. Calcul de \((-6)^2\)
   Quand on élève un nombre négatif à une puissance paire, le résultat est positif :
   \[ (-6)^2 = 6 \times 6 = 36. \]

4. Assemblage de l’expression
   L’expression devient :
   \[ -1 + 9 - 36. \]
   Calculons étape par étape :
   \(-1 + 9 = 8\), puis \(8 - 36 = -28\).

Réponse pour la deuxième expression :
\[ \boxed{-28} \]

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3) Calcul de \(\displaystyle (+7)^2 - (-1)^7 - (-3)^2\)

1. Calcul de \((+7)^2\)
   Élever \(7\) au carré donne :
   \[ 7 \times 7 = 49. \]

2. Calcul de \((-1)^7\)
   Puisque 7 est impair :
   \[ (-1)^7 = -1. \]

3. Calcul de \((-3)^2\)
   Pour le nombre \(-3\) élevé à une puissance paire,
   \[ (-3)^2 = 3 \times 3 = 9. \]

4. Assemblage de l’expression
   L’expression se transforme en :
   \[ 49 - (-1) - 9. \]
   Rappelez-vous que soustraire un nombre négatif revient à ajouter :
   \[ 49 + 1 - 9. \]
   On a alors :
   \(49 + 1 = 50\) et \(50 - 9 = 41\).

Réponse pour la troisième expression :
\[ \boxed{41} \]

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4) Calcul de \(\displaystyle (-1)^2 - (+1)^3 + (-1)^7\)

1. Calcul de \((-1)^2\)
   Pour une puissance paire :
   \[ (-1)^2 = 1. \]

2. Calcul de \((+1)^3\)
   Puisque \(1\) élevé à n’importe quelle puissance reste \(1\) :
   \[ (+1)^3 = 1. \]

3. Calcul de \((-1)^7\)
   Pour une puissance impaire :
   \[ (-1)^7 = -1. \]

4. Assemblage de l’expression
   On remplace pour obtenir :
   \[ 1 - 1 + (-1). \]
   Calculons :
   \(1 - 1 = 0\) puis \(0 + (-1) = -1\).

Réponse pour la quatrième expression :
\[ \boxed{-1} \]

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5) Calcul de \(\displaystyle (-1)^6 - (-1)^8\)

1. Calcul de \((-1)^6\)
   Comme 6 est pair :
   \[ (-1)^6 = 1. \]

2. Calcul de \((-1)^8\)
   De même, puisque 8 est pair :
   \[ (-1)^8 = 1. \]

3. Assemblage de l’expression
   L’expression devient :
   \[ 1 - 1 = 0. \]

Réponse pour la cinquième expression :
\[ \boxed{0} \]

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Réponses finales

1. \(\boxed{0}\)
   
2. \(\boxed{-28}\)
   
3. \(\boxed{41}\)
   
4. \(\boxed{-1}\)
   
5. \(\boxed{0}\)

Chaque étape a été détaillée pour vous permettre de suivre le raisonnement pas à pas.