Exercice 57

Exercice

Calculer les expressions suivantes :

1. \[ (-2)^2 \cdot (+1)^3 \cdot (-3)^3 \]

2. \[ (-1)^{17} \cdot (+1)^3 \cdot (+1)^{16} \]

3. \[ (-5)^2 \cdot (+2)^3 \cdot (+7)^2 \]

4. \[ (-1)^7 \cdot 0 \cdot (+15)^3 \]

5. \[ (-4)^2 \cdot (-2) \cdot (-1)^5 \]

6. \[ (+1)^{167} \cdot (+167)^1 \]

Réponse

Réponses en résumé :
1) –108
2) –1
3) 9800
4) 0
5) 32
6) 167

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression.

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1) Calcul de \(\;(-2)^2 \cdot (+1)^3 \cdot (-3)^3\)

Étape 1 : Calcul de \((-2)^2\)

\[ (-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4 \]

Étape 2 : Calcul de \((+1)^3\)

\[ (+1)^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1 \]

Étape 3 : Calcul de \((-3)^3\)

\[ (-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) \] - D’abord, \((-3) \times (-3) = 9\). - Ensuite, \(9 \times (-3) = -27\).

Étape 4 : Multiplication des résultats

\[ 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 4 \times (-27) = -108 \]

Réponse de l’expression 1 : \(-108\)

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2) Calcul de \(\;(-1)^{17} \cdot (+1)^3 \cdot (+1)^{16}\)

Étape 1 : Calcul de \((-1)^{17}\)

• Lorsqu’on élève \(-1\) à une puissance impaire, le résultat est \(-1\).

\[ (-1)^{17} = -1 \]

Étape 2 : Calcul de \((+1)^3\) et \((+1)^{16}\)

\[ (+1)^3 = 1 \quad \text{et} \quad (+1)^{16} = 1 \]

Étape 3 : Multiplication des résultats

\[ -1 \cdot 1 \cdot 1 = -1 \]

Réponse de l’expression 2 : \(-1\)

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3) Calcul de \(\;(-5)^2 \cdot (+2)^3 \cdot (+7)^2\)

Étape 1 : Calcul de \((-5)^2\)

\[ (-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25 \]

Étape 2 : Calcul de \((+2)^3\)

\[ (+2)^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \]

Étape 3 : Calcul de \((+7)^2\)

\[ (+7)^2 = 7 \times 7 = 49 \]

Étape 4 : Multiplication des résultats

• D’abord, \(25 \cdot 8 = 200\).
• Ensuite, \(200 \cdot 49 = 9800\).

Réponse de l’expression 3 : \(9800\)

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4) Calcul de \(\;(-1)^7 \cdot 0 \cdot (+15)^3\)

Étape 1 : Calcul de \((-1)^7\)

\[ (-1)^7 = -1 \quad \text{(car 7 est impair)} \]

Étape 2 : Le facteur \(0\) annule le produit.

\[ -1 \cdot 0 \cdot (+15)^3 = 0 \]

Réponse de l’expression 4 : \(0\)

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5) Calcul de \(\;(-4)^2 \cdot (-2) \cdot (-1)^5\)

Étape 1 : Calcul de \((-4)^2\)

\[ (-4)^2 = (-4) \times (-4) = 16 \]

Étape 2 : Le nombre \(-2\) reste inchangé.

Étape 3 : Calcul de \((-1)^5\)

\[ (-1)^5 = -1 \quad \text{(car 5 est impair)} \]

Étape 4 : Multiplication des résultats

• D’abord, \(16 \cdot (-2) = -32\).
• Ensuite, \(-32 \cdot (-1) = 32\).

Réponse de l’expression 5 : \(32\)

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6) Calcul de \(\;(+1)^{167} \cdot (+167)^1\)

Étape 1 : Calcul de \((+1)^{167}\)

\[ (+1)^{167} = 1 \quad \text{(car 1 élevé à n'importe quelle puissance reste 1)} \]

Étape 2 : Calcul de \((+167)^1\)

\[ (+167)^1 = 167 \]

Étape 3 : Multiplication des résultats

\[ 1 \cdot 167 = 167 \]

Réponse de l’expression 6 : \(167\)

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Récapitulatif des réponses

1. \(-108\)
   
2. \(-1\)
   
3. \(9800\)
   
4. \(0\)
   
5. \(32\)
   
6. \(167\)