Exercice 55

Calculer \(5a^2b^3\) pour les valeurs suivantes :

1. \(a = +11\), \(b = -2\)
   
2. \(a = +6\), \(b = -4\)
   
3. \(a = -10\), \(b = -1\)
   
4. \(a = -4\), \(b = +5\)
   
5. \(a = -9\), \(b = +3\)
   
6. \(a = -5\), \(b = +2\)

Réponse

Réponses de l’exercice :

1. -4840
   
2. -11520
   
3. -500
   
4. 10000
   
5. 10935
   
6. 1000

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée pour l’exercice.

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Énoncé du problème :

On doit calculer \[ 5a^2b^3 \] pour chacune des valeurs données :

1. \(a = +11\) et \(b = -2\)
   
2. \(a = +6\) et \(b = -4\)
   
3. \(a = -10\) et \(b = -1\)
   
4. \(a = -4\) et \(b = +5\)
   
5. \(a = -9\) et \(b = +3\)
   
6. \(a = -5\) et \(b = +2\)

Nous allons substituer les valeurs de \(a\) et \(b\) dans l’expression et effectuer les calculs pas à pas.

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1) Pour \(a = 11\) et \(b = -2\)

Nous commençons par écrire l’expression avec les valeurs substituées : \[ 5a^2b^3 = 5 \times (11)^2 \times (-2)^3 \]

1. Calcul de \((11)^2\) : \[ 11^2 = 121. \]
2. Calcul de \((-2)^3\) :
   Étant donné que l’exposant 3 est impair, le résultat est négatif. \[ (-2)^3 = -2 \times -2 \times -2 = -8. \]
3. Remplacement dans l’expression : \[ 5 \times 121 \times (-8). \]
4. Multiplication :
   D’abord, \(121 \times (-8) = -968\).
   Ensuite, \(5 \times (-968) = -4840\).

Résultat 1 : \(-4840\)

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2) Pour \(a = 6\) et \(b = -4\)

Substitution dans l’expression : \[ 5a^2b^3 = 5 \times (6)^2 \times (-4)^3 \]

1. Calcule de \(6^2\) : \[ 6^2 = 36. \]
2. Calcule de \((-4)^3\) :
   L’exposant étant impair, le résultat est négatif. \[ (-4)^3 = -4 \times -4 \times -4 = -64. \]
3. Remplacement dans l’expression : \[ 5 \times 36 \times (-64). \]
4. Multiplication :
   \(36 \times (-64) = -2304\).
   Puis, \(5 \times (-2304) = -11520\).

Résultat 2 : \(-11520\)

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3) Pour \(a = -10\) et \(b = -1\)

Substitution dans l’expression : \[ 5a^2b^3 = 5 \times (-10)^2 \times (-1)^3 \]

1. Calcul de \((-10)^2\) :
   Même si \(a\) est négatif, le carré rend le résultat positif. \[ (-10)^2 = 100. \]
2. Calcul de \((-1)^3\) :
   Comme l’exposant est impair, le résultat reste négatif. \[ (-1)^3 = -1. \]
3. Remplacement : \[ 5 \times 100 \times (-1). \]
4. Multiplication : \[ 100 \times (-1) = -100, \quad 5 \times (-100) = -500. \]

Résultat 3 : \(-500\)

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4) Pour \(a = -4\) et \(b = 5\)

Substitution : \[ 5a^2b^3 = 5 \times (-4)^2 \times 5^3 \]

1. Calcul de \((-4)^2\) :
   Le carré d’un nombre négatif est positif. \[ (-4)^2 = 16. \]
2. Calcul de \(5^3\) : \[ 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125. \]
3. Remplacement : \[ 5 \times 16 \times 125. \]
4. Multiplication : \[ 16 \times 125 = 2000, \quad 5 \times 2000 = 10000. \]

Résultat 4 : \(10000\)

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5) Pour \(a = -9\) et \(b = 3\)

Substitution : \[ 5a^2b^3 = 5 \times (-9)^2 \times 3^3 \]

1. Calcul de \((-9)^2\) : \[ (-9)^2 = 81. \]
2. Calcul de \(3^3\) : \[ 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27. \]
3. Remplacement : \[ 5 \times 81 \times 27. \]
4. Multiplication :
   On peut d’abord calculer \(81 \times 27 = 2187\) (ou procéder étape par étape).
   Ensuite, \(5 \times 2187 = 10935\).

Résultat 5 : \(10935\)

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6) Pour \(a = -5\) et \(b = 2\)

Substitution : \[ 5a^2b^3 = 5 \times (-5)^2 \times 2^3 \]

1. Calcul de \((-5)^2\) : \[ (-5)^2 = 25. \]
2. Calcul de \(2^3\) : \[ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8. \]
3. Remplacement dans l’expression : \[ 5 \times 25 \times 8. \]
4. Multiplication : \[ 25 \times 8 = 200, \quad 5 \times 200 = 1000. \]

Résultat 6 : \(1000\)

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Récapitulatif des résultats :

1. \(-4840\)
   
2. \(-11520\)
   
3. \(-500\)
   
4. \(10000\)
   
5. \(10935\)
   
6. \(1000\)

Chaque étape consiste à substituer les valeurs de \(a\) et \(b\) dans l’expression, à calculer les puissances, puis à multiplier les résultats en respectant l’ordre des opérations. Cette méthode permet de s’assurer de ne pas commettre d’erreur dans les calculs.

Voilà la correction complète de l’exercice.