Calculer les puissances de 10 suivantes :
Voici le résumé de l’exercice :
• 10⁻² = 0,01
• 10⁻¹ = 0,1
• 10⁻⁴ = 0,0001
• 10⁰ = 1
• 10⁻³ = 0,001
• 10⁻⁶ = 0,000001
Nous allons calculer chacune des puissances de 10 en appliquant la
règle suivante : pour tout réel \(a\),
la puissance \(10^{-a}\) est égale à
l’inverse de \(10^{a}\). Autrement
dit,
\[
10^{-a} = \frac{1}{10^{a}}.
\]
De plus, la puissance \(10^{0}\) est égale à 1, car toute base non nulle élevée à la puissance 0 vaut 1.
Suivons maintenant ces étapes pour chaque exercice.
On a : \[ 10^{-2} = \frac{1}{10^2}. \] Calculons \(10^2\) : \[ 10^2 = 10 \times 10 = 100. \] Donc : \[ 10^{-2} = \frac{1}{100} = 0,01. \]
On écrit : \[ 10^{-1} = \frac{1}{10^1}. \] Calculons \(10^1\) : \[ 10^1 = 10. \] Ainsi : \[ 10^{-1} = \frac{1}{10} = 0,1. \]
On a : \[ 10^{-4} = \frac{1}{10^4}. \] Calculons \(10^4\) : \[ 10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10\,000. \] Donc : \[ 10^{-4} = \frac{1}{10\,000} = 0,0001. \]
On utilise la propriété fondamentale des puissances : \[ 10^{0} = 1. \] Cette propriété nous dit que toute base (autre que 0) élevée à la puissance 0 vaut 1.
De même, on écrit : \[ 10^{-3} = \frac{1}{10^3}. \] Calculons \(10^3\) : \[ 10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000. \] Ainsi : \[ 10^{-3} = \frac{1}{1\,000} = 0,001. \]
Enfin, on a : \[ 10^{-6} = \frac{1}{10^6}. \] Calculons \(10^6\) : \[ 10^6 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 1\,000\,000. \] Donc : \[ 10^{-6} = \frac{1}{1\,000\,000} = 0,000001. \]
Chaque calcul repose sur la règle de la division pour les exposants négatifs et sur la définition de la puissance nulle. Cette méthode vous permet de transformer une puissance négative en une fraction dont le dénominateur est la valeur de la puissance positive correspondante.