Exercice 50

Retrouvez le nombre manquant dans chacune des équations suivantes :

1. \(2^4 \cdot \square^2 = 64\)
   
2. \(3^4 - \square^2 = 56\)
   
3. \(5^3 - \square^2 = 4\)
   
4. \(3^3 \cdot \square^2 + 1^{10} = 1\)
   
5. \(\dfrac{9^2}{\square^3} + 4 = 7\)

Réponse

Les valeurs manquantes sont : 2, 5, 11, 0 et 3.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée en plusieurs étapes pour retrouver le nombre manquant dans chacune des équations :

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1) Équation : \(2^4 \cdot \square^2 = 64\)

Étape 1 : Calcul de \(2^4\)
On sait que :
\[ 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \]

Étape 2 : Remplacer dans l’équation
L’équation devient :
\[ 16 \cdot \square^2 = 64 \]

Étape 3 : Isoler \(\square^2\)
Divisons les deux côtés par 16 :
\[ \square^2 = \frac{64}{16} = 4 \]

Étape 4 : Trouver \(\square\)
On cherche un nombre tel que son carré soit 4. Comme \(2^2 = 4\), alors on a :
\[ \square = 2 \]

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2) Équation : \(3^4 - \square^2 = 56\)

Étape 1 : Calcul de \(3^4\)
\[ 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 \]

Étape 2 : Remplacer dans l’équation
L’équation devient :
\[ 81 - \square^2 = 56 \]

Étape 3 : Isoler \(\square^2\)
On soustrait 56 à 81 :
\[ \square^2 = 81 - 56 = 25 \]

Étape 4 : Trouver \(\square\)
Le nombre dont le carré donne 25 est 5, car \(5^2 = 25\).
Donc :
\[ \square = 5 \]

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3) Équation : \(5^3 - \square^2 = 4\)

Étape 1 : Calcul de \(5^3\)
\[ 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125 \]

Étape 2 : Remplacer dans l’équation
L’équation devient :
\[ 125 - \square^2 = 4 \]

Étape 3 : Isoler \(\square^2\)
On soustrait 4 à 125 :
\[ \square^2 = 125 - 4 = 121 \]

Étape 4 : Trouver \(\square\)
Le nombre dont le carré donne 121 est 11, car \(11^2 = 121\).
Donc :
\[ \square = 11 \]

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4) Équation : \(3^3 \cdot \square^2 + 1^{10} = 1\)

Étape 1 : Calcul de \(3^3\) et \(1^{10}\)
\[ 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 \]
\[ 1^{10} = 1 \]

Étape 2 : Remplacer dans l’équation
L’équation devient :
\[ 27 \cdot \square^2 + 1 = 1 \]

Étape 3 : Isoler le terme contenant \(\square\)
Soustrayons 1 des deux côtés :
\[ 27 \cdot \square^2 = 1 - 1 = 0 \]

Étape 4 : Trouver \(\square\)
Divisons par 27 :
\[ \square^2 = 0 \]
Le seul nombre dont le carré est 0 est 0.
Donc :
\[ \square = 0 \]

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5) Équation : \(\dfrac{9^2}{\square^3} + 4 = 7\)

Étape 1 : Calcul de \(9^2\)
\[ 9^2 = 9 \times 9 = 81 \]

Étape 2 : Remplacer dans l’équation
L’équation devient :
\[ \frac{81}{\square^3} + 4 = 7 \]

Étape 3 : Isoler le terme fractionnaire
Soustrayons 4 des deux côtés :
\[ \frac{81}{\square^3} = 7 - 4 = 3 \]

Étape 4 : Résoudre pour \(\square^3\)
Multiplions par \(\square^3\) puis divisons par 3 :
\[ 81 = 3 \cdot \square^3 \quad \Longrightarrow \quad \square^3 = \frac{81}{3} = 27 \]

Étape 5 : Trouver \(\square\)
Le nombre dont le cube est 27 est 3, car \(3^3 = 27\).
Donc :
\[ \square = 3 \]

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Récapitulatif des réponses :

1. \(\square = 2\)
   
2. \(\square = 5\)
   
3. \(\square = 11\)
   
4. \(\square = 0\)
   
5. \(\square = 3\)

Cette démarche permet de retrouver facilement le nombre manquant dans chacune des équations.