Exercice 48

Exercice

Retrouve le nombre manquant dans chacune des équations suivantes :

1. \(3^{\cdots} \cdot 5^4 = 625\)
2. \(2^3 \cdot \cdots = 72\)
3. \(3 + 5^{\cdots} = 28\)
4. \(4^2 \cdot 3 + \cdots = 54\)
5. \(7 \cdot 2^5 - 3^{\cdots} = 215\)

Réponse

Les réponses aux équations sont : 0, 9, 2, 6 et 2.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque équation :

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1) \(3^{\cdots} \cdot 5^4 = 625\)

1. Observation : On remarque que \(625\) s’écrit sous la forme \(5^4\) car \[ 5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625. \]
2. Écriture de l’équation :
   \[ 3^{\text{?}} \cdot 5^4 = 5^4. \]
3. Comparer les deux côtés : Pour que le produit soit égal à \(5^4\), il faut que le facteur \(3^{\text{?}}\) soit égal à 1.
4. Calcul de l’exposant manquant :
   On sait que pour tout nombre non nul, \(a^0 = 1\). Ainsi,
   \[ 3^0 = 1. \]
5. Conclusion :
   Le nombre manquant est \(0\).

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2) \(2^3 \cdot \cdots = 72\)

1. Calcul de \(2^3\) :
   \[ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8. \]
2. Écriture de l’équation :
   \[ 8 \cdot \text{?} = 72. \]
3. Trouver le nombre manquant :
   Diviser \(72\) par \(8\) permet de déterminer le nombre manquant : \[ \text{?} = \frac{72}{8} = 9. \]
4. Conclusion :
   Le nombre manquant est \(9\).

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3) \(3 + 5^{\cdots} = 28\)

1. Isoler la puissance de 5 :
   On soustrait 3 des deux côtés : \[ 5^{\text{?}} = 28 - 3 = 25. \]
2. Reconnaître \(25\) comme une puissance de 5 :
   \[ 5^2 = 25. \]
3. Conclusion :
   Le nombre manquant est \(2\).

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4) \(4^2 \cdot 3 + \cdots = 54\)

1. Calcul de \(4^2\) :
   \[ 4^2 = 16. \]
2. Multiplication par 3 :
   \[ 16 \cdot 3 = 48. \]
3. Écriture de l’équation :
   \[ 48 + \text{?} = 54. \]
4. Trouver le nombre manquant :
   Soustraire \(48\) de \(54\) : \[ \text{?} = 54 - 48 = 6. \]
5. Conclusion :
   Le nombre manquant est \(6\).

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5) \(7 \cdot 2^5 - 3^{\cdots} = 215\)

1. Calcul de \(2^5\) :
   \[ 2^5 = 32. \]
2. Multiplication par 7 :
   \[ 7 \cdot 32 = 224. \]
3. Écriture de l’équation :
   \[ 224 - 3^{\text{?}} = 215. \]
4. Isoler la puissance de 3 :
   Soustraire \(215\) de \(224\) : \[ 3^{\text{?}} = 224 - 215 = 9. \]
5. Reconnaître \(9\) comme une puissance de 3 :
   \[ 3^2 = 9. \]
6. Conclusion :
   Le nombre manquant est \(2\).

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Récapitulatif des réponses

1. \(3^{0} \cdot 5^4 = 625\) ⟹ Le nombre manquant est 0.
   
2. \(2^3 \cdot 9 = 72\) ⟹ Le nombre manquant est 9.
   
3. \(3 + 5^{2} = 28\) ⟹ Le nombre manquant est 2.
   
4. \(4^2 \cdot 3 +6 = 54\) ⟹ Le nombre manquant est 6.
   
5. \(7 \cdot 2^5 - 3^{2} = 215\) ⟹ Le nombre manquant est 2.

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Chaque étape est expliquée pour que le raisonnement soit clair et compréhensible.