Exercice 47

Exercice

Calculer la valeur de l’expression \[ \sqrt{a^3} + 2\left(\sqrt{a}\right)^3 \] pour chacune des valeurs suivantes de \(a\) :
1) \(a = 4\)
2) \(a = 0,09\)
3) \(a = 1,44\)
4) \(a = 9\)
5) \(a = 5^2\)

Réponse

Pour a = 4, le résultat est 24 ; pour a = 0,09, c’est 0,081 ; pour a = 1,44, c’est 5,184 ; pour a = 9, c’est 81 ; et pour a = 5² (c’est-à-dire 25), c’est 375.

Corrigé détaillé

Nous souhaitons calculer la valeur de l’expression \[ \sqrt{a^3} + 2\left(\sqrt{a}\right)^3 \] pour différentes valeurs de \(a\). Pour y parvenir, il est utile de remarquer que les deux termes de l’expression se simplifient de la même manière.

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Étape 1 : Simplification de l’expression

Rappelons que l’expression \(\sqrt{a^3}\) peut s’écrire en exposant sous forme fractionnaire : \[ \sqrt{a^3} = a^{\frac{3}{2}} \] De même, \(\left(\sqrt{a}\right)^3\) s’écrit : \[ \left(\sqrt{a}\right)^3 = \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^3 = a^{\frac{3}{2}} \] Nous constatons alors que les deux termes sont identiques. L’expression initiale se transforme donc en : \[ a^{\frac{3}{2}} + 2a^{\frac{3}{2}} = 3a^{\frac{3}{2}} \] Ainsi, nous avons simplifié le problème à calculer : \[ 3a^{\frac{3}{2}}. \]

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Étape 2 : Calcul pour chacune des valeurs de \(a\)

Nous allons maintenant remplacer \(a\) par les valeurs données et effectuer le calcul.

1) Pour \(a = 4\)

• Calcul de \(a^{\frac{3}{2}}\) :
  \(\sqrt{4} = 2\) et ensuite \(2^3 = 8\).
  On obtient \[ 4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8. \]

• Multiplication par 3 :
  \[ 3 \times 8 = 24. \]

2) Pour \(a = 0,09\)

• Calcul de \(a^{\frac{3}{2}}\) :
  \(\sqrt{0,09} = 0,3\) (puisque \(0,3 \times 0,3 = 0,09\)).
  Ensuite, \((0,3)^3 = 0,027\) (car \(0,3 \times 0,3 \times 0,3 = 0,027\)).
  Ainsi, \[ 0,09^{\frac{3}{2}} = 0,027. \]

• Multiplication par 3 :
  \[ 3 \times 0,027 = 0,081. \]

3) Pour \(a = 1,44\)

• Calcul de \(a^{\frac{3}{2}}\) :
  \(\sqrt{1,44} = 1,2\) (puisque \(1,2 \times 1,2 = 1,44\)).
  Ensuite, \((1,2)^3 = 1,728\) (car \(1,2 \times 1,2 \times 1,2 = 1,728\)).
  On obtient \[ 1,44^{\frac{3}{2}} = 1,728. \]

• Multiplication par 3 :
  \[ 3 \times 1,728 = 5,184. \]

4) Pour \(a = 9\)

• Calcul de \(a^{\frac{3}{2}}\) :
  \(\sqrt{9} = 3\) et \(3^3 = 27\).
  On a donc \[ 9^{\frac{3}{2}} = 27. \]

• Multiplication par 3 :
  \[ 3 \times 27 = 81. \]

5) Pour \(a = 5^2\)

Ici, \(a\) vaut \(5^2\), ce qui signifie : \[ a = 25. \]

• Calcul de \(a^{\frac{3}{2}}\) :
  \(\sqrt{25} = 5\) et \(5^3 = 125\).
  Donc, \[ 25^{\frac{3}{2}} = 125. \]

• Multiplication par 3 :
  \[ 3 \times 125 = 375. \]

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Conclusion

Pour chacune des valeurs de \(a\), nous avons obtenu :

1. Pour \(a = 4\) : \(\sqrt{4^3} + 2\left(\sqrt{4}\right)^3 = 24\).
   
2. Pour \(a = 0,09\) : \(\sqrt{(0,09)^3} + 2\left(\sqrt{0,09}\right)^3 = 0,081\).
   
3. Pour \(a = 1,44\) : \(\sqrt{(1,44)^3} + 2\left(\sqrt{1,44}\right)^3 = 5,184\).
   
4. Pour \(a = 9\) : \(\sqrt{9^3} + 2\left(\sqrt{9}\right)^3 = 81\).
   
5. Pour \(a = 5^2\) (soit \(a = 25\)) : \(\sqrt{25^3} + 2\left(\sqrt{25}\right)^3 = 375\).

Chaque résultat est obtenu grâce à la simplification permettant de regrouper les deux termes identiques en un seul, puis en effectuant des calculs étape par étape.