Exercice : Compléter les tableaux
On considère que
\[
\mathbf{G}^{2} \cdot \mathbf{H}
\] correspond au carré de la valeur donnée par \(\mathrm{G}\) multiplié par la valeur donnée
par \(\mathrm{H}\).
Recopie et complète les tableaux suivants :
Tableau 1 :
| H | ||
|---|---|---|
| \(\mathrm{G}^{2} \cdot \mathrm{H}\) | 2 | 5 |
| G | ||
| 1 |
Tableau 2 :
| 5 | ||
|---|---|---|
| 3 | ||
| 7 | 98 |
Tableau 3 :
| 4 | 10 | |
|---|---|---|
| 2 | ||
| 36 |
Tableau 1 :
• Colonne 1 : G²·H = 2 avec H = 1, donc G = √2.
• Colonne 2 : G²·H = 5, on choisit G = 1, donc H = 5.
Tableau 2 :
• Pour G = 5 et H = 3, on obtient 5²×3 = 75 et pour H = 7, 5²×7 =
175.
• Pour la deuxième colonne, en posant G²×7 = 98, on trouve G = √14 et
donc pour H = 3 : 14×3 = 42.
Tableau 3 :
On pose les colonnes avec G = 4 et 10, et les lignes avec H = 2 et H =
9/4 (puisque 4²×(9/4) = 36).
• Pour H = 2 : 4²×2 = 32 et 10²×2 = 200.
• Pour H = 9/4 : 4²×(9/4) = 36 et 10²×(9/4) = 225.
On vous propose ici une méthode détaillée pour « compléter » chacun des tableaux en utilisant la relation suivante :
\[ \mathbf{G}^2 \cdot \mathbf{H} = (\text{la valeur de }G)^2 \times (\text{la valeur de }H). \]
Dans chacun des tableaux, trois nombres apparaissent : la valeur de \(G\), celle de \(H\) et celle du « produit transformé » \(G^2 \cdot H\). L’idée est la suivante : si, dans une colonne, la valeur de \(G^2\cdot H\) et l’une des deux valeurs (soit \(G\) soit \(H\)) sont données, alors on peut calculer la valeur manquante en utilisant la formule
\[ G^2 \cdot H = (\text{valeur donnée}) \quad\Longrightarrow\quad \text{la valeur manquante} = \frac{G^2\cdot H}{\text{(l’autre donnée, ou son carré si besoin)}}. \]
Les trois tableaux ne présentent pas tous la même répartition des
informations. Nous proposons ici une interprétation « classique »
adoptée dans ces exercices :
– Dans un tableau le rang supérieur (déjà annoté) correspond à \(G^2\cdot H\).
– Le second rang indique la valeur de \(G\).
– Le troisième rang indique la valeur de \(H\).
Cela nous permettra de compléter chaque tableau. Nous verrons aussi que dans certains tableaux, dans une colonne, une seule des deux valeurs \(G\) ou \(H\) est donnée ; dans la colonne où aucun des deux n’est fourni, on choisit – par exemple – la valeur la plus simple (souvent \(G=1\)) afin d’obtenir une solution cohérente.
────────────────────────────── Tableau 1
La copie du tableau est donnée avec trois lignes (les intitulés à gauche sont les “natures” des nombres) et deux colonnes. On interprète ainsi :
Le tableau initial est :
| Colonne 1 | Colonne 2 | |
|---|---|---|
| \(G^2\cdot H\) | 2 | 5 |
| \(G\) | ? | ? |
| \(H\) | 1 | ? |
Colonne 1 :
On connaît \(G^2\cdot H = 2\) et \(H=1\). La relation nous dit
\[ G^2\times 1 = 2 \quad\Longrightarrow\quad G^2 = 2. \]
On en déduit
\[ G=\sqrt{2}\quad \text{(on prend la valeur positive)}. \]
Colonne 2 :
On a \(G^2\cdot H = 5\) mais aucun des
deux nombres n’est donné directement dans cette colonne. Pour «
compléter » le tableau, il est judicieux de choisir la valeur la plus
simple pour l’un des paramètres. Par exemple, choisissons
\[ G=1. \]
Alors, \[ 1^2 \times H = 5 \quad\Longrightarrow\quad H = 5. \]
Le tableau 1 complété devient donc :
| Colonne 1 | Colonne 2 | |
|---|---|---|
| \(G^2\cdot H\) | 2 | 5 |
| \(G\) | \(\sqrt{2}\) | 1 |
| \(H\) | 1 | 5 |
────────────────────────────── Tableau 2
Ici, la présentation du tableau est différente. On dispose d’un tableau à double colonne dont la copie fournie est :
| Colonne 1 | Colonne 2 | |
|---|---|---|
| (en entête) | 5 | (à compléter) |
| 3 | ||
| 7 | 98 |
Pour comprendre la répartition, nous proposons de « reconstruire » un tableau « produit » où l’on place, par exemple, en haut la valeur de \(G\) et en colonne de gauche la valeur de \(H\) ; dans la case d’intersection, on inscrit \(G^2 \cdot H\).
• Les nombres fournis nous permettent de reconstituer le tableau de
la manière suivante. Supposons que :
– La première colonne a pour en-tête la valeur \(G=5\).
– La première ligne (à gauche) indique \(H=3\) et la deuxième ligne indique \(H=7\).
Alors, on complète la grille où la case en (ligne \(H\), colonne \(G\)) est calculée par
\[ G^2\cdot H. \]
Vérifions : - Pour la colonne 1 (avec \(G=5\)) et la première ligne (\(H=3\)) : \[ 5^2\times 3 = 25\times 3 = 75. \] - Pour la colonne 1 et la deuxième ligne (\(H=7\)) : \[ 5^2\times 7 = 25\times 7 = 175. \]
Aucun de ces deux résultats n’est inscrit dans le tableau fourni. Par contre, dans la colonne 2, la case correspondant à \(H=7\) affiche 98. Pour que le calcul soit vérifié dans la deuxième colonne, on pose :
• En colonne 2, l’en-tête correspond à la valeur inconnue de \(G\) que nous noterons \(G_2\) et on connaît que, pour \(H=7\),
\[ G_2^2\times 7 = 98. \]
On en déduit :
\[ G_2^2 = \frac{98}{7} = 14 \quad\Longrightarrow\quad G_2=\sqrt{14}. \]
Ensuite, on peut compléter la case manquante pour la colonne 2 et la première ligne (\(H=3\)) :
\[ (\sqrt{14})^2\times 3 = 14\times 3 = 42. \]
Enfin, le tableau complet sous ce modèle devient :
| Colonne 1 | Colonne 2 | |
|---|---|---|
| \(G\) (en-tête) | 5 | \(\sqrt{14}\) |
| \(H\) (à gauche) | 3 | 7 |
| \(G^2\cdot H\) | \(5^2\times3=75\) | \(5^2\times7=175\) pour la 1ʳᵉ colonne |
On peut présenter le tableau « produit » complet en plaçant en haut les valeurs de \(G\) et à gauche celles de \(H\) :
| \(G=5\) | \(G=\sqrt{14}\) | |
|---|---|---|
| \(H=3\) | \(5^2\times3=75\) | \(14\times3=42\) |
| \(H=7\) | \(5^2\times7=175\) | \(14\times7=98\) |
Ce tableau est cohérent avec les données du problème puisque la case correspondant à \(H=7\) et \(G=\sqrt{14}\) donne 98 (donnée fournie).
────────────────────────────── Tableau 3
Le tableau 3 apparaît ainsi :
| 4 | 10 | |
|---|---|---|
| 2 | ||
| 36 |
Pour interpréter, on utilise le même schéma que pour Tableau 2, c’est‑à‑dire que la grille est organisée avec en en-tête les valeurs de \(G\) et sur la colonne de gauche celles de \(H\). Ici, on lit :
– La première ligne en haut (après le coin vide) donne les valeurs de
\(G\) :
• Colonne 1 : \(G=4\)
• Colonne 2 : \(G=10\).
– La première ligne de la colonne de gauche est donnée : \(H=2\).
– La deuxième ligne de la colonne de gauche n’est pas indiquée et sera
déterminée.
Parmi les cases de la grille, on a la donnée « 36 » placée dans la case de la première colonne de la deuxième ligne. Cette case correspond donc à :
\[ (\text{en colonne 1})\quad G^2\cdot H = 4^2\times H = 16\times H. \]
Or, on sait que dans cette case le résultat est 36. Nous écrivons donc :
\[ 16\times H = 36. \]
Pour trouver \(H\) (la valeur de la deuxième ligne), on calcule :
\[ H = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}. \]
Une fois obtenu \(H=\frac{9}{4}\) pour la deuxième ligne, on complète le reste de la grille.
Pour la première ligne (où \(H=2\)) : - En colonne 1 : le résultat est \[ 4^2\times2 = 16\times2 = 32. \] - En colonne 2 : le résultat est \[ 10^2\times2 = 100\times2 = 200. \]
Pour la deuxième ligne (où \(H=\frac{9}{4}\)) : - En colonne 2 : le résultat est \[ 10^2\times\frac{9}{4} = 100\times\frac{9}{4} = \frac{900}{4} =225. \] (On avait déjà trouvé 36 pour la case en colonne 1.)
On peut ainsi présenter le tableau complet sous forme de grille en posant que les lignes représentent \(H\) et les colonnes \(G\) :
| \(G=4\) | \(G=10\) | |
|---|---|---|
| \(H=2\) | \(16\times2=32\) | \(100\times2=200\) |
| \(H=\dfrac{9}{4}\) | \(16\times\dfrac{9}{4}=36\) | \(100\times\dfrac{9}{4}=225\) |
────────────────────────────── Récapitulatif des Corrections
Tableau 1 :
On part de :
| \(G^2\cdot H\) | 2 | 5 |
|---|---|---|
| \(G\) | ? | ? |
| \(H\) | 1 | ? |
– En colonne 1 : \(G^2\times1=2\)
donc \(G=\sqrt{2}\).
– En colonne 2 : on choisit \(G=1\)
alors \(1^2\times H=5\) donc \(H=5\).
Tableau 2 :
En réorganisant la grille en plaçant en haut les valeurs de \(G\) et à gauche celles de \(H\), on trouve :
Le tableau complet est donc :
| \(G=5\) | \(G=\sqrt{14}\) | |
|---|---|---|
| \(H=3\) | 75 | 42 |
| \(H=7\) | 175 | 98 |
Tableau 3 :
En disposant le tableau de façon à ce que les colonnes indiquent \(G\) et les lignes \(H\) :
– En-têtes de colonnes : \(G=4\) et
\(G=10\).
– La première ligne de gauche indique \(H=2\).
– La deuxième ligne de gauche est inconnue et se déduit grâce à la
donnée 36 placée sous \(G=4\) dans la
deuxième ligne : \[
4^2\times H = 16\times H = 36 \quad\Longrightarrow\quad
H=\frac{36}{16}=\frac{9}{4}.
\]
Calcul des cellules :
• Pour \(H=2\) :
– Colonne \(G=4\) : \(16\times2=32\).
– Colonne \(G=10\) : \(100\times2=200\).
• Pour \(H=\frac{9}{4}\) :
– Colonne \(G=4\) : \(16\times\frac{9}{4}=36\) (donnée).
– Colonne \(G=10\) : \(100\times\frac{9}{4}=225\).
Le tableau complet se présente ainsi :
| \(G=4\) | \(G=10\) | |
|---|---|---|
| \(H=2\) | 32 | 200 |
| \(H=\dfrac{9}{4}\) | 36 | 225 |
────────────────────────────── Ainsi, en appliquant la définition donnée pour \(G^2\cdot H\) et en choisissant, lorsqu’il y a liberté, la valeur la plus simple, nous obtenons les tableaux complétés comme ci-dessus.