La notation \(\mathbf{G}^{\mathbf{H}}\) indique que le nombre placé à gauche est élevé à la puissance indiquée par le nombre placé en haut. Complétez les tableaux suivants :
| H | ||
|---|---|---|
| \(\mathrm{G}^{\mathrm{H}}\) | 2 | 3 |
| 6 | ||
| 3 |
| \(\mathrm{G}^{\mathrm{H}}\) | 1 | |
|---|---|---|
| 4 | 16 | |
| 5 |
| \(\mathrm{G}^{\mathrm{H}}\) | ||
|---|---|---|
| 3 | 81 | |
| 2 | 32 |
Premier tableau : • Pour G = 6 : 6² = 36 et 6³ = 216.
• Pour G = 3 : 3² = 9 et 3³ = 27.
Deuxième tableau : • Les exposants sont 1 et 2.
• Pour G = 4 : 4¹ = 4 et 4² = 16.
• Pour G = 5 : 5¹ = 5 et 5² = 25.
Troisième tableau : • Les colonnes correspondent aux exposants 5 et
4.
• Pour G = 3 : 3⁵ = 243 et 3⁴ = 81.
• Pour G = 2 : 2⁵ = 32 et 2⁴ = 16.
Nous allons compléter les tableaux en utilisant la définition de la notation \(\mathrm{G}^{\mathrm{H}}\) qui signifie « le nombre \(\mathrm{G}\) est élevé à la puissance \(\mathrm{H}\) ». Cela veut dire que l’on multiplie \(\mathrm{G}\) par lui-même \(\mathrm{H}\) fois.
Le tableau initial est :
| H | ||
|---|---|---|
| \(\mathrm{G}^{\mathrm{H}}\) | 2 | 3 |
| 6 | ||
| 3 |
Étape 1 : Identifier la base et les exposants
Étape 2 : Calculer les puissances
Pour la ligne où \(\mathrm{G} = 6\)
: - Pour \(\mathrm{H} = 2\) :
\[
6^{2} = 6 \times 6 = 36
\] - Pour \(\mathrm{H} = 3\)
:
\[
6^{3} = 6 \times 6 \times 6 = 216
\]
Pour la ligne où \(\mathrm{G} = 3\)
: - Pour \(\mathrm{H} = 2\) :
\[
3^{2} = 3 \times 3 = 9
\] - Pour \(\mathrm{H} = 3\)
:
\[
3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27
\]
Tableau complété :
| 2 | 3 | |
|---|---|---|
| 6 | 36 | 216 |
| 3 | 9 | 27 |
Le tableau initial est :
| \(\mathrm{G}^{\mathrm{H}}\) | 1 | |
|---|---|---|
| 4 | 16 | |
| 5 |
Étape 1 : Identifier l’information donnée
Étape 2 : Compléter les résultats
Pour \(\mathrm{G} = 4\) : - Pour \(\mathrm{H} = 1\) : \[ 4^{1} = 4. \] - Pour \(\mathrm{H} = 2\) : \[ 4^{2} = 16. \]
Pour \(\mathrm{G} = 5\) : - Pour \(\mathrm{H} = 1\) : \[ 5^{1} = 5. \] - Pour \(\mathrm{H} = 2\) : \[ 5^{2} = 5 \times 5 = 25. \]
Tableau complété :
| \(\mathrm{G}^{\mathrm{H}}\) | 1 | 2 |
|---|---|---|
| 4 | 4 | 16 |
| 5 | 5 | 25 |
Le tableau initial est :
| \(\mathrm{G}^{\mathrm{H}}\) | ||
|---|---|---|
| 3 | 81 | |
| 2 | 32 |
Ici, les en-têtes de colonnes (les valeurs qui représentent l’exposant \(\mathrm{H}\)) ne sont pas indiqués. Nous allons les déterminer à l’aide des informations données dans les lignes.
Analyse de la première ligne :
La ligne avec \(\mathrm{G} = 3\)
comporte 81 dans la deuxième colonne. Cherchons l’exposant \(\mathrm{H}\) tel que : \[
3^{\mathrm{H}} = 81.
\] Comme
\[
3^{4} = 81,
\] la deuxième colonne correspond à l’exposant \(4\).
Analyse de la deuxième ligne :
La ligne avec \(\mathrm{G} = 2\)
comporte 32 dans la première colonne. Cherchons l’exposant \(\mathrm{H}\) tel que : \[
2^{\mathrm{H}} = 32.
\] Comme
\[
2^{5} = 32,
\] la première colonne correspond à l’exposant \(5\).
Étape 1 : Déduire les en-têtes des colonnes
Étape 2 : Compléter les autres résultats
Pour la ligne avec \(\mathrm{G} = 3\) : - Pour \(\mathrm{H} = 5\) (première colonne) : \[ 3^{5} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243. \] - Pour \(\mathrm{H} = 4\) (deuxième colonne) : \[ 3^{4} = 81 \quad (\text{déjà donné}). \]
Pour la ligne avec \(\mathrm{G} = 2\) : - Pour \(\mathrm{H} = 5\) (première colonne) : \[ 2^{5} = 32 \quad (\text{déjà donné}). \] - Pour \(\mathrm{H} = 4\) (deuxième colonne) : \[ 2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16. \]
Tableau complété :
| \(\mathrm{G}^{\mathrm{H}}\) | 5 | 4 |
|---|---|---|
| 3 | 243 | 81 |
| 2 | 32 | 16 |
Premier tableau :
| 2 | 3 | |
|---|---|---|
| 6 | 36 | 216 |
| 3 | 9 | 27 |
Deuxième tableau :
| \(\mathrm{G}^{\mathrm{H}}\) | 1 | 2 |
|---|---|---|
| 4 | 4 | 16 |
| 5 | 5 | 25 |
Troisième tableau :
| \(\mathrm{G}^{\mathrm{H}}\) | 5 | 4 |
|---|---|---|
| 3 | 243 | 81 |
| 2 | 32 | 16 |
Chaque étape a consisté à identifier la base et l’exposant, puis à effectuer la multiplication répétée pour obtenir la puissance correspondante. Ces méthodes sont très utiles pour calculer des puissances de nombres.