Exercice 42

Exercice : Complétez les opérations suivantes en déterminant les exposants manquants.

\[ x^{3} \cdot y^{2} \cdot x^{5} \cdot y^{3} \cdot y = x^{\cdots} \cdot y^{\cdots} \]
\[ a^{3} \cdot b \cdot c^{4} \cdot a^{0} \cdot b^{2} \cdot a \cdot c^{3} = a^{\cdots} \cdot b^{\cdots} \cdot c^{\cdots} \]
\[ a^{5} \cdot b^{3} \cdot a^{\cdots} \cdot b^{2} \cdot b^{\cdots} \cdot a^{4} = a^{12} \cdot b^{6} \]
\[ a^{3} \cdot b^{2} \cdot a^{\cdots} \cdot b^{3} \cdot b \cdot a^{5} = a^{10} \cdot b^{\cdots} \]
\[ y^{2} \cdot y \cdot x^{3} \cdot x^{\cdots} \cdot y^{\cdots} \cdot x^{2} \cdot y^{4} = x^{5} \cdot y^{10} \]

Réponse

Voici le résumé très court des réponses en français :

x³ · y² · x⁵ · y³ · y = x⁸ · y⁶
a³ · b · c⁴ · a⁰ · b² · a · c³ = a⁴ · b³ · c⁷
a⁵ · b³ · a³ · b² · b¹ · a⁴ = a¹² · b⁶
a³ · b² · a² · b³ · b · a⁵ = a¹⁰ · b⁶
y² · y · x³ · x⁰ · y³ · x² · y⁴ = x⁵ · y¹⁰

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque opération, avec un raisonnement étape par étape pour trouver les exposants manquants.

1) \[ x^{3} \cdot y^{2} \cdot x^{5} \cdot y^{3} \cdot y = x^{\cdots} \cdot y^{\cdots} \]

Étape 1 : Réunir les termes de même base

Pour la base \(x\) :
On a \(x^3\) et \(x^5\).
Le produit est :
\[ x^3 \cdot x^5 = x^{3+5} = x^8. \]
Pour la base \(y\) :
On a \(y^2\), \(y^3\) et \(y\) (\(y = y^1\)).
Le produit est :
\[ y^2 \cdot y^3 \cdot y^1 = y^{2+3+1} = y^6. \]

Réponse de l’exercice 1 :
\[ x^8 \cdot y^6. \]

2) \[ a^{3} \cdot b \cdot c^{4} \cdot a^{0} \cdot b^{2} \cdot a \cdot c^{3} = a^{\cdots} \cdot b^{\cdots} \cdot c^{\cdots} \]

Étape 1 : Réunir les termes de même base

Pour la base \(a\) :
Les exposants sont \(3\), \(0\) et \(1\) (car \(a = a^1\)).
\[ a^{3} \cdot a^{0} \cdot a^{1} = a^{3+0+1} = a^4. \]
Pour la base \(b\) :
Les exposants sont \(1\) (car \(b = b^1\)) et \(2\).
\[ b \cdot b^{2} = b^{1+2} = b^3. \]
Pour la base \(c\) :
Les exposants sont \(4\) et \(3\).
\[ c^{4} \cdot c^{3} = c^{4+3} = c^7. \]

Réponse de l’exercice 2 :
\[ a^4 \cdot b^3 \cdot c^7. \]

3) \[ a^{5} \cdot b^{3} \cdot a^{\cdots} \cdot b^{2} \cdot b^{\cdots} \cdot a^{4} = a^{12} \cdot b^{6} \]

Ici, deux exposants sont manquants. On va les déterminer pour que le produit donne \(a^{12} \cdot b^{6}\).

Pour la base \(a\) :

On a \(a^5\), \(a^{\cdots}\) et \(a^4\).
En utilisant la règle du produit des puissances : \[ a^5 \cdot a^{\cdots} \cdot a^4 = a^{5 + (\cdots) + 4} = a^{(\cdots + 9)}. \] Pour obtenir \(a^{12}\), il faut que : \[ (\cdots) + 9 = 12 \quad \Longrightarrow \quad (\cdots) = 3. \]

Pour la base \(b\) :

On a \(b^3\), \(b^2\) et \(b^{\cdots}\).
On écrit : \[ b^3 \cdot b^2 \cdot b^{\cdots} = b^{3 + 2 + (\cdots)} = b^{5 + (\cdots)}. \] Pour obtenir \(b^6\), il faut que : \[ 5 + (\cdots) = 6 \quad \Longrightarrow \quad (\cdots) = 1. \]

Réponse de l’exercice 3 :
Le premier exposant manquant (pour \(a\)) vaut 3 et le second (pour \(b\)) vaut 1.
L’expression complète est : \[ a^5 \cdot b^3 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot b^1 \cdot a^4 = a^{12} \cdot b^{6}. \]

4) \[ a^{3} \cdot b^{2} \cdot a^{\cdots} \cdot b^{3} \cdot b \cdot a^{5} = a^{10} \cdot b^{\cdots} \]

Pour la base \(a\) :

On a \(a^3\), \(a^{\cdots}\) et \(a^5\).
Ainsi : \[ a^3 \cdot a^{\cdots} \cdot a^5 = a^{3 + (\cdots) + 5} = a^{(\cdots + 8)}. \] Pour obtenir \(a^{10}\), il faut que : \[ (\cdots) + 8 = 10 \quad \Longrightarrow \quad (\cdots) = 2. \]

Pour la base \(b\) :

On a \(b^2\), \(b^3\) et \(b\) (i.e. \(b^1\)).
Ainsi : \[ b^2 \cdot b^3 \cdot b^1 = b^{2+3+1} = b^6. \]

Réponse de l’exercice 4 :
L’exposant manquant pour \(a\) est 2 et pour \(b\) la somme des exposants est 6.
L’expression complète est : \[ a^{3} \cdot b^{2} \cdot a^{2} \cdot b^{3} \cdot b \cdot a^{5} = a^{10} \cdot b^{6}. \]

5) \[ y^{2} \cdot y \cdot x^{3} \cdot x^{\cdots} \cdot y^{\cdots} \cdot x^{2} \cdot y^{4} = x^{5} \cdot y^{10} \]

Ici, deux exposants manquants : un pour \(x\) et un pour \(y\).

Pour la base \(x\) :

On voit \(x^3\), \(x^{\cdots}\) et \(x^2\).
Ainsi : \[ x^3 \cdot x^{\cdots} \cdot x^2 = x^{3+(\cdots)+2} = x^{(\cdots + 5)}. \] Pour obtenir \(x^5\), il faut que : \[ (\cdots) + 5 = 5 \quad \Longrightarrow \quad (\cdots) = 0. \]

Pour la base \(y\) :

On voit \(y^2\), \(y\) (donc \(y^1\)), \(y^{\cdots}\) et \(y^4\).
Ainsi : \[ y^2 \cdot y^1 \cdot y^{\cdots} \cdot y^4 = y^{2+1+(\cdots)+4} = y^{7+(\cdots)}. \] Pour obtenir \(y^{10}\), il faut que : \[ 7+(\cdots) = 10 \quad \Longrightarrow \quad (\cdots) = 3. \]

Réponse de l’exercice 5 :
L’exposant manquant pour \(x\) est 0 et pour \(y\) est 3.
L’expression complète est : \[ y^{2} \cdot y \cdot x^{3} \cdot x^{0} \cdot y^{3} \cdot x^{2} \cdot y^{4} = x^{5} \cdot y^{10}. \]

Récapitulatif des réponses

\(\; x^{3} \cdot y^{2} \cdot x^{5} \cdot y^{3} \cdot y = x^8 \cdot y^6\)
\(\; a^{3} \cdot b \cdot c^{4} \cdot a^{0} \cdot b^{2} \cdot a \cdot c^{3} = a^4 \cdot b^3 \cdot c^7\)
\(\; a^{5} \cdot b^{3} \cdot a^{3} \cdot b^{2} \cdot b^{1} \cdot a^{4} = a^{12} \cdot b^6\)
\(\; a^{3} \cdot b^{2} \cdot a^{2} \cdot b^{3} \cdot b \cdot a^{5} = a^{10} \cdot b^6\)
\(\; y^{2} \cdot y \cdot x^{3} \cdot x^{0} \cdot y^{3} \cdot x^{2} \cdot y^{4} = x^{5} \cdot y^{10}\)

Chaque étape utilise la propriété fondamentale des exposants qui dit que pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants.

J’espère que ces explications vous aideront à comprendre comment déterminer les exposants manquants dans ces expressions !