Exercice 41

Exercice : Compléter en indiquant les exposants manquants

1. \[ x^{3} \cdot x^{2} \cdot x^{5} \cdot y^{3} \cdot x^{3} \cdot y^{5} = x^{\cdots} \cdot y^{\cdots} \]

2. \[ a^{7} \cdot b^{3} \cdot c \cdot a^{2} \cdot c \cdot b^{4} = a^{\cdots} \cdot b^{\cdots} \cdot c^{\cdots} \]

3. \[ x^{3} \cdot y \cdot z^{0} \cdot x^{2} \cdot x^{4} \cdot y^{2} = x^{\cdots} \cdot y^{\cdots} \cdot z^{\cdots} \]

4. \[ a^{5} \cdot b^{3} \cdot b^{\cdots} \cdot a^{4} = a^{\cdots} \cdot b^{6} \]

5. \[ x^{4} \cdot y^{3} \cdot z \cdot x^{\cdots} \cdot y \cdot z^{0} = x^{6} \cdot y^{\cdots} \cdot z^{\cdots} \]

Réponse

1. x¹³ · y⁸
   
2. a⁹ · b⁷ · c²
   
3. x⁹ · y³ · z⁰
   
4. a⁹ · b⁶ (l’exposant manquant pour b est 3)
   
5. x⁶ · y⁴ · zⁱ (l’exposant manquant pour x est 2)

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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Exercice : Compléter en indiquant les exposants manquants

1) \(\displaystyle x^{3} \cdot x^{2} \cdot x^{5} \cdot y^{3} \cdot x^{3} \cdot y^{5}\)

Étape 1 : Regrouper les facteurs de même base

• Pour la base \(x\) :
  \[ x^3 \cdot x^2 \cdot x^5 \cdot x^3 \]
• Pour la base \(y\) :
  \[ y^3 \cdot y^5 \]

Étape 2 : Additionner les exposants pour la même base

• Pour \(x\) :
  \[ 3 + 2 + 5 + 3 = 13 \quad \Rightarrow \quad x^{13} \]
• Pour \(y\) :
  \[ 3 + 5 = 8 \quad \Rightarrow \quad y^{8} \]

Conclusion :
Le résultat est
\[ x^{13} \cdot y^{8} \]

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2) \(\displaystyle a^{7} \cdot b^{3} \cdot c \cdot a^{2} \cdot c \cdot b^{4}\)

Étape 1 : Regrouper les facteurs par base

• Pour \(a\) :
  \[ a^7 \cdot a^2 \quad \Rightarrow \quad a^{7+2} \]
• Pour \(b\) :
  \[ b^3 \cdot b^4 \quad \Rightarrow \quad b^{3+4} \]
• Pour \(c\) :
  \[ c \cdot c \quad \Rightarrow \quad c^{1+1} \]

Étape 2 : Effectuer les additions

• Pour \(a\) :
  \[ 7 + 2 = 9 \quad \Rightarrow \quad a^9 \]
• Pour \(b\) :
  \[ 3 + 4 = 7 \quad \Rightarrow \quad b^7 \]
• Pour \(c\) :
  \[ 1 + 1 = 2 \quad \Rightarrow \quad c^2 \]

Conclusion :
Le résultat est
\[ a^9 \cdot b^7 \cdot c^2 \]

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3) \(\displaystyle x^{3} \cdot y \cdot z^{0} \cdot x^{2} \cdot x^{4} \cdot y^{2}\)

Étape 1 : Regrouper les facteurs de même base

• Pour \(x\) :
  \[ x^3 \cdot x^2 \cdot x^4 \quad \Rightarrow \quad x^{3+2+4} \]
• Pour \(y\) :
  \[ y \cdot y^2 \quad \Rightarrow \quad y^{1+2} \]
• Pour \(z\) :
  \[ z^0 \]

Étape 2 : Additionner les exposants

• Pour \(x\) :
  \[ 3 + 2 + 4 = 9 \quad \Rightarrow \quad x^9 \]
• Pour \(y\) :
  \[ 1 + 2 = 3 \quad \Rightarrow \quad y^3 \]
• Pour \(z\) :
  \(z^0\) reste tel quel.

Conclusion :
Le résultat est
\[ x^9 \cdot y^3 \cdot z^0 \]

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4) \(\displaystyle a^{5} \cdot b^{3} \cdot b^{\cdots} \cdot a^{4} = a^{\cdots} \cdot b^{6}\)

Nous devons trouver l’exposant manquant pour \(b\) et compléter l’exposant de \(a\).

Étape 1 : Regrouper les facteurs

• Pour \(a\) :
  \[ a^5 \cdot a^4 \quad \Rightarrow \quad a^{5+4} = a^9 \]
• Pour \(b\) :
  \[ b^3 \cdot b^{\text{?}} = b^{3 + \text{?}} \] Or, le résultat final nous donne \(b^6\).

Étape 2 : Déterminer l’exposant manquant pour \(b\)

Il faut que : \[ 3 + \text{?} = 6 \quad \Rightarrow \quad \text{?} = 3 \]

Conclusion :
Le résultat complété est
\[ a^9 \cdot b^6 \] et l’exposant manquant pour \(b\) est \(3\).

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5) \(\displaystyle x^{4} \cdot y^{3} \cdot z \cdot x^{\cdots} \cdot y \cdot z^{0} = x^{6} \cdot y^{\cdots} \cdot z^{\cdots}\)

Nous devons trouver l’exposant manquant pour \(x\) ainsi que compléter les exposants de \(y\) et \(z\).

Étape 1 : Regrouper les facteurs

• Pour \(x\) :
  \[ x^4 \cdot x^{\text{?}} \quad \Rightarrow \quad x^{4 + \text{?}} \] Le résultat final indique \(x^6\).

• Pour \(y\) :
  \[ y^3 \cdot y \quad \Rightarrow \quad y^{3+1} = y^4 \]

• Pour \(z\) :
  \[ z \cdot z^0 \quad \Rightarrow \quad z^{1+0} = z^1 \]

Étape 2 : Déterminer l’exposant manquant pour \(x\)

Il faut que : \[ 4 + \text{?} = 6 \quad \Rightarrow \quad \text{?} = 2 \]

Conclusion :
Le résultat complet est
\[ x^6 \cdot y^4 \cdot z^1, \] ou plus simplement
\[ x^6 \cdot y^4 \cdot z. \]

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Récapitulatif des réponses

1. \(\displaystyle x^{13} \cdot y^{8}\)

2. \(\displaystyle a^{9} \cdot b^{7} \cdot c^{2}\)

3. \(\displaystyle x^{9} \cdot y^{3} \cdot z^{0}\)

4. \(\displaystyle a^{9} \cdot b^{6}\) avec l’exposant manquant pour \(b\) égal à \(3\)

5. \(\displaystyle x^6 \cdot y^4 \cdot z^1\) avec l’exposant manquant pour \(x\) égal à \(2\), \(y\) égal à \(4\) et \(z\) égal à \(1\)

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Chaque étape de la multiplication des puissances repose sur la règle suivante :
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n}. \]

J’espère que cette correction détaillée vous aide à comprendre comment combiner les exposants lors de la multiplication de puissances de même base.