Exercice : Compléter les exposants manquants
Complétez les exposants dans les expressions suivantes :
\[ a^{6} \cdot b^{5} \cdot a^{4} \cdot b^{4} \cdot c^{3} \cdot a^{2} = a^{\cdots} \cdot b^{\cdots} \cdot c^{\cdots} \]
\[ a^{4} \cdot b^{3} \cdot c^{2} \cdot c^{4} \cdot b^{3} \cdot a^{4} = a^{\cdots} \cdot b^{\cdots} \cdot c^{\cdots} \]
\[ x^{5} \cdot y^{4} \cdot z \cdot x \cdot y^{2} \cdot z^{3} = x^{\cdots} \cdot y^{\cdots} \cdot z^{\cdots} \]
\[ x^{2} \cdot y^{3} \cdot z \cdot x^{3} \cdot y^{2} \cdot z = x^{\cdots} \cdot y^{\cdots} \cdot z^{\cdots} \]
\[ a^{3} \cdot b^{2} \cdot c^{3} \cdot b \cdot c^{2} \cdot a^{4} \cdot b^{3} = a^{\cdots} \cdot b^{\cdots} \cdot c^{\cdots} \]
Réponses :
1) a¹² · b⁹ · c³
2) a⁸ · b⁶ · c⁶
3) x⁶ · y⁶ · z⁴
4) x⁵ · y⁵ · z²
5) a⁷ · b⁶ · c⁵
Voici la correction détaillée de chaque expression.
Nous allons utiliser la propriété des exposants
quand on multiplie des puissances de même base :
\[
a^m \cdot a^n = a^{m+n}
\] Cette propriété s’applique à chacune des bases présentes dans
les expressions.
\[ a^{6} \cdot b^{5} \cdot a^{4} \cdot b^{4} \cdot c^{3} \cdot a^{2} \]
Étape 1 : Regrouper les puissances de \(a\)
Les puissances de \(a\) sont \(a^6\), \(a^4\) et \(a^2\).
On additionne leurs exposants :
\[
6 + 4 + 2 = 12
\] Donc, \(a^6 \cdot a^4 \cdot a^2 =
a^{12}\).
Étape 2 : Regrouper les puissances de \(b\)
Les puissances de \(b\) sont \(b^5\) et \(b^4\).
On additionne leurs exposants :
\[
5 + 4 = 9
\] Donc, \(b^5 \cdot b^4 =
b^9\).
Étape 3 : La puissance de \(c\)
Il y a seulement \(c^3\).
Donc, \(c^3 = c^3\).
Résultat final :
\[
a^{12} \cdot b^{9} \cdot c^{3}
\]
\[ a^{4} \cdot b^{3} \cdot c^{2} \cdot c^{4} \cdot b^{3} \cdot a^{4} \]
Étape 1 : Regrouper les puissances de \(a\)
Les puissances de \(a\) sont \(a^4\) et \(a^4\).
\[
4 + 4 = 8 \quad\Longrightarrow\quad a^4 \cdot a^4 = a^8.
\]
Étape 2 : Regrouper les puissances de \(b\)
Les puissances de \(b\) sont \(b^3\) et \(b^3\).
\[
3 + 3 = 6 \quad\Longrightarrow\quad b^3 \cdot b^3 = b^6.
\]
Étape 3 : Regrouper les puissances de \(c\)
Les puissances de \(c\) sont \(c^2\) et \(c^4\).
\[
2 + 4 = 6 \quad\Longrightarrow\quad c^2 \cdot c^4 = c^6.
\]
Résultat final :
\[
a^8 \cdot b^6 \cdot c^6
\]
\[ x^{5} \cdot y^{4} \cdot z \cdot x \cdot y^{2} \cdot z^{3} \]
Étape 1 : Regrouper les puissances de \(x\)
Les puissances de \(x\) sont \(x^5\) et \(x^1\) (puisque \(x = x^1\)).
\[
5 + 1 = 6 \quad\Longrightarrow\quad x^5 \cdot x^1 = x^6.
\]
Étape 2 : Regrouper les puissances de \(y\)
Les puissances de \(y\) sont \(y^4\) et \(y^2\).
\[
4 + 2 = 6 \quad\Longrightarrow\quad y^4 \cdot y^2 = y^6.
\]
Étape 3 : Regrouper les puissances de \(z\)
Les puissances de \(z\) sont \(z^1\) (car \(z =
z^1\)) et \(z^3\).
\[
1 + 3 = 4 \quad\Longrightarrow\quad z^1 \cdot z^3 = z^4.
\]
Résultat final :
\[
x^6 \cdot y^6 \cdot z^4
\]
\[ x^{2} \cdot y^{3} \cdot z \cdot x^{3} \cdot y^{2} \cdot z \]
Étape 1 : Regrouper les puissances de \(x\)
Les puissances de \(x\) sont \(x^2\) et \(x^3\).
\[
2 + 3 = 5 \quad\Longrightarrow\quad x^2 \cdot x^3 = x^5.
\]
Étape 2 : Regrouper les puissances de \(y\)
Les puissances de \(y\) sont \(y^3\) et \(y^2\).
\[
3 + 2 = 5 \quad\Longrightarrow\quad y^3 \cdot y^2 = y^5.
\]
Étape 3 : Regrouper les puissances de \(z\)
Les puissances de \(z\) sont \(z^1\) et \(z^1\) (car \(z =
z^1\) pour les deux).
\[
1 + 1 = 2 \quad\Longrightarrow\quad z^1 \cdot z^1 = z^2.
\]
Résultat final :
\[
x^5 \cdot y^5 \cdot z^2
\]
\[ a^{3} \cdot b^{2} \cdot c^{3} \cdot b \cdot c^{2} \cdot a^{4} \cdot b^{3} \]
Étape 1 : Regrouper les puissances de \(a\)
Les puissances de \(a\) sont \(a^3\) et \(a^4\).
\[
3 + 4 = 7 \quad\Longrightarrow\quad a^3 \cdot a^4 = a^7.
\]
Étape 2 : Regrouper les puissances de \(b\)
Les puissances de \(b\) sont \(b^2\), \(b^1\) (car \(b =
b^1\)) et \(b^3\).
\[
2 + 1 + 3 = 6 \quad\Longrightarrow\quad b^2 \cdot b^1 \cdot b^3 = b^6.
\]
Étape 3 : Regrouper les puissances de \(c\)
Les puissances de \(c\) sont \(c^3\) et \(c^2\).
\[
3 + 2 = 5 \quad\Longrightarrow\quad c^3 \cdot c^2 = c^5.
\]
Résultat final :
\[
a^7 \cdot b^6 \cdot c^5
\]
Ainsi, chacune des expressions est simplifiée en ajoutant les exposants des mêmes bases.