Exercice 39

Exercice

Examinez le chiffre des unités des nombres suivants et déduisez lesquels ne peuvent pas être le carré d’un entier :

1. \(3364\)
2. \(768\)
3. \(3242\)
4. \(397\)
5. \(3721\)
6. \(6850\)
7. \(4225\)
8. \(676\)
9. \(1433\)
10. \(4252\)

Réponse

Les nombres qui ne peuvent pas être des carrés sont 768, 3242, 397, 1433 et 4252.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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Énoncé de l’exercice

On vous demande d’examiner le chiffre des unités (le dernier chiffre) de chaque nombre et de déduire lesquels ne peuvent pas être le carré d’un entier. Les nombres donnés sont :

1. \(3364\)
2. \(768\)
3. \(3242\)
4. \(397\)
5. \(3721\)
6. \(6850\)
7. \(4225\)
8. \(676\)
9. \(1433\)
10. \(4252\)

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Rappel sur les carrés d’entiers

Lorsqu’on calcule le carré d’un entier, le chiffre des unités du résultat est déterminé par le chiffre des unités de l’entier. Voici la liste des derniers chiffres possibles pour un carré :

• Si l’entier se termine par \(0\), son carré se termine par \(0\).
• Si l’entier se termine par \(1\) ou \(9\), son carré se termine par \(1\).
• Si l’entier se termine par \(2\) ou \(8\), son carré se termine par \(4\).
• Si l’entier se termine par \(3\) ou \(7\), son carré se termine par \(9\).
• Si l’entier se termine par \(4\) ou \(6\), son carré se termine par \(6\).
• Si l’entier se termine par \(5\), son carré se termine par \(5\).

Ainsi, les seuls chiffres possibles pour le chiffre des unités d’un carré sont :
\[ 0,\ 1,\ 4,\ 5,\ 6,\ 9. \]

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Analyse de chaque nombre

Pour chaque nombre, nous regardons le chiffre des unités et déterminons s’il est possible qu’il provienne d’un carré d’entier.

1. \(3364\) :
   • Chiffre des unités : \(4\).
     
   • \(4\) fait partie de la liste \(\{0,\,1,\,4,\,5,\,6,\,9\}\).
     
   • Conclusion : \(3364\) peut être un carré.
2. \(768\) :
   • Chiffre des unités : \(8\).
     
   • \(8\) n’est pas dans la liste des chiffres possibles pour un carré.
     
   • Conclusion : \(768\) ne peut pas être le carré d’un entier.
3. \(3242\) :
   • Chiffre des unités : \(2\).
     
   • \(2\) n’est pas dans la liste.
     
   • Conclusion : \(3242\) ne peut pas être un carré.
4. \(397\) :
   • Chiffre des unités : \(7\).
     
   • \(7\) n’est pas dans la liste.
     
   • Conclusion : \(397\) ne peut pas être un carré.
5. \(3721\) :
   • Chiffre des unités : \(1\).
     
   • \(1\) est possible.
     
   • Conclusion : \(3721\) peut être un carré.
6. \(6850\) :
   • Chiffre des unités : \(0\).
     
   • \(0\) est possible.
     
   • Conclusion : \(6850\) peut être un carré.
7. \(4225\) :
   • Chiffre des unités : \(5\).
     
   • \(5\) est possible (car le carré d’un nombre se terminant par \(5\) se termine toujours par \(25\)).
     
   • Conclusion : \(4225\) peut être un carré.
8. \(676\) :
   • Chiffre des unités : \(6\).
     
   • \(6\) est possible.
     
   • Conclusion : \(676\) peut être un carré.
9. \(1433\) :
   • Chiffre des unités : \(3\).
     
   • \(3\) n’est pas dans la liste.
     
   • Conclusion : \(1433\) ne peut pas être un carré.
10. \(4252\) :
    • Chiffre des unités : \(2\).
      
    • \(2\) n’est pas dans la liste.
      
    • Conclusion : \(4252\) ne peut pas être un carré.

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Récapitulatif des réponses

Les nombres qui ne peuvent pas être le carré d’un entier sont les suivants :

• \(768\) (chiffre des unités : \(8\))
• \(3242\) (chiffre des unités : \(2\))
• \(397\) (chiffre des unités : \(7\))
• \(1433\) (chiffre des unités : \(3\))
• \(4252\) (chiffre des unités : \(2\))

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Conclusion finale

Les nombres qui ne peuvent pas être des carrés d’entiers sont :
\[ 768,\quad 3242,\quad 397,\quad 1433,\quad 4252. \]

Ce raisonnement repose sur l’observation du chiffre des unités, qui doit appartenir à l’ensemble \(\{0,\,1,\,4,\,5,\,6,\,9\}\) pour que le nombre soit potentiellement un carré parfait.