Exercice 38

Exercice

Calculer les expressions suivantes :

1. \(\, 2^2 \times 2^4 - 2^3 \,\)
2. \(\, 2^3 \times 2^4 + 2^2 \,\)
3. \(\, (2^2)^2 + 2^4 \,\)
4. \(\, (2^2 + 2^4) \times 2^3 \,\)
5. \(\, (2^2 + 2^4)^2 \,\)
6. \(\, (2^2 \times 2^4)^2 - 2^2 \times 2^4 \,\)

Réponse

Les réponses sont : 56, 132, 32, 160, 400 et 4032.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression :

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1. Calculer \(\, 2^2 \times 2^4 - 2^3 \,\)

1. Multiplier les puissances de 2
   On utilise la propriété :
   \[ 2^a \times 2^b = 2^{a+b} \] Ainsi,
   \[ 2^2 \times 2^4 = 2^{2+4} = 2^6 \]

2. Calculer \(2^6\)
   \[ 2^6 = 64 \]

3. Calculer \(2^3\)
   \[ 2^3 = 8 \]

4. Soustraire
   \[ 64 - 8 = 56 \]

Donc, le résultat de la première expression est 56.

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2. Calculer \(\, 2^3 \times 2^4 + 2^2 \,\)

1. Multiplier les puissances de 2
   \[ 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 \]

2. Calculer \(2^7\)
   \[ 2^7 = 128 \]

3. Calculer \(2^2\)
   \[ 2^2 = 4 \]

4. Additionner
   \[ 128 + 4 = 132 \]

Le résultat de la deuxième expression est 132.

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3. Calculer \(\, (2^2)^2 + 2^4 \,\)

1. Calculer \((2^2)^2\)
   On utilise la propriété des puissances : \[ (2^2)^2 = 2^{2 \times 2} = 2^4 \]

2. Calculer \(2^4\)
   \[ 2^4 = 16 \]

3. Additionner
   On a deux fois \(2^4\) : \[ 16 + 16 = 32 \]

Le résultat de la troisième expression est 32.

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4. Calculer \(\, (2^2 + 2^4) \times 2^3 \,\)

1. Évaluer l’expression dans la parenthèse
   \[ 2^2 = 4 \quad \text{et} \quad 2^4 = 16 \] \[ 4 + 16 = 20 \]

2. Multiplier par \(2^3\)
   \[ 2^3 = 8 \] \[ 20 \times 8 = 160 \]

Le résultat de la quatrième expression est 160.

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5. Calculer \(\, (2^2 + 2^4)^2 \,\)

1. Calculer la somme dans la parenthèse
   \[ 2^2 + 2^4 = 4 + 16 = 20 \]

2. Élever au carré
   \[ 20^2 = 400 \]

Le résultat de la cinquième expression est 400.

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6. Calculer \(\, (2^2 \times 2^4)^2 - 2^2 \times 2^4 \,\)

1. Calculer \(2^2 \times 2^4\)
   \[ 2^2 \times 2^4 = 2^{2+4} = 2^6 = 64 \]

2. Élever au carré
   \[ (2^6)^2 = 64^2 = 4096 \]

3. Soustraire le produit initial
   \[ 4096 - 64 = 4032 \]

Le résultat de la sixième expression est 4032.

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Résumé des réponses

1. \(\, 2^2 \times 2^4 - 2^3 = 56 \,\)
   
2. \(\, 2^3 \times 2^4 + 2^2 = 132 \,\)
   
3. \(\, (2^2)^2 + 2^4 = 32 \,\)
   
4. \(\, (2^2 + 2^4) \times 2^3 = 160 \,\)
   
5. \(\, (2^2 + 2^4)^2 = 400 \,\)
   
6. \(\, (2^2 \times 2^4)^2 - 2^2 \times 2^4 = 4032 \,\)

Chaque étape a été détaillée afin de montrer la logique et les opérations mathématiques nécessaires pour arriver aux réponses finales.