Exercice 37

Calculer les expressions suivantes :

  1. \(3^3 \times 5^3\) et \(15^3\)
  2. \(8^2 \times 9^2\) et \(72^2\)
  3. \(7^3 \times 3^3\) et \(21^3\)
  4. \(4^2 \times 9^2\) et \(36^2\)
  5. \(12^2 \times 8^2\) et \(96^2\)
  6. \(4^2 \times 8^2\) et \(32^2\)

Réponse

Chaque expression se simplifie en regroupant les puissances identiques : par exemple, 3³ × 5³ = (3×5)³ = 15³. On obtient de même :
• 8² × 9² = 72²
• 7³ × 3³ = 21³
• 4² × 9² = 36²
• 12² × 8² = 96²
• 4² × 8² = 32².

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression.


Rappel de la propriété utilisée

Pour simplifier des expressions de la forme
\[ a^n \times b^n, \] on peut utiliser la propriété des exposants qui nous dit que
\[ a^n \times b^n = (a \times b)^n. \] Cette propriété est valable lorsque les deux facteurs ont le même exposant.


1. \(3^3 \times 5^3\) et \(15^3\)

Étape 1 : Identifier la forme de l’expression
Les deux termes ont le même exposant (ici, 3).

Étape 2 : Appliquer la propriété
On a donc : \[ 3^3 \times 5^3 = (3 \times 5)^3. \]

Étape 3 : Calculer le produit à l’intérieur de la parenthèse
\[ 3 \times 5 = 15. \]

Étape 4 : Réécrire l’expression
Ainsi : \[ 3^3 \times 5^3 = 15^3. \]

Conclusion :
Les deux expressions sont égales.


2. \(8^2 \times 9^2\) et \(72^2\)

Étape 1 : Identifier la forme de l’expression
Les deux termes ont le même exposant (ici, 2).

Étape 2 : Appliquer la propriété
On écrit : \[ 8^2 \times 9^2 = (8 \times 9)^2. \]

Étape 3 : Calculer le produit à l’intérieur de la parenthèse
\[ 8 \times 9 = 72. \]

Étape 4 : Réécrire l’expression
Ainsi : \[ 8^2 \times 9^2 = 72^2. \]

Conclusion :
Les deux expressions sont égales.


3. \(7^3 \times 3^3\) et \(21^3\)

Étape 1 : Identifier la forme de l’expression
Les deux termes ont le même exposant (3).

Étape 2 : Appliquer la propriété
On obtient : \[ 7^3 \times 3^3 = (7 \times 3)^3. \]

Étape 3 : Calculer le produit à l’intérieur de la parenthèse
\[ 7 \times 3 = 21. \]

Étape 4 : Réécrire l’expression
Ainsi : \[ 7^3 \times 3^3 = 21^3. \]

Conclusion :
Les deux expressions sont équivalentes.


4. \(4^2 \times 9^2\) et \(36^2\)

Étape 1 : Identifier la forme de l’expression
Les deux termes ont le même exposant (2).

Étape 2 : Appliquer la propriété
On a : \[ 4^2 \times 9^2 = (4 \times 9)^2. \]

Étape 3 : Calculer le produit à l’intérieur de la parenthèse
\[ 4 \times 9 = 36. \]

Étape 4 : Réécrire l’expression
Ainsi : \[ 4^2 \times 9^2 = 36^2. \]

Conclusion :
Les deux expressions sont identiques.


5. \(12^2 \times 8^2\) et \(96^2\)

Étape 1 : Identifier la forme de l’expression
Les deux termes possèdent le même exposant (2).

Étape 2 : Appliquer la propriété
On peut écrire : \[ 12^2 \times 8^2 = (12 \times 8)^2. \]

Étape 3 : Calculer le produit à l’intérieur de la parenthèse
\[ 12 \times 8 = 96. \]

Étape 4 : Réécrire l’expression
Ainsi : \[ 12^2 \times 8^2 = 96^2. \]

Conclusion :
Les deux expressions sont équivalentes.


6. \(4^2 \times 8^2\) et \(32^2\)

Étape 1 : Identifier la forme de l’expression
Les deux termes ont le même exposant (2).

Étape 2 : Appliquer la propriété
On a : \[ 4^2 \times 8^2 = (4 \times 8)^2. \]

Étape 3 : Calculer le produit à l’intérieur de la parenthèse
\[ 4 \times 8 = 32. \]

Étape 4 : Réécrire l’expression
Ainsi : \[ 4^2 \times 8^2 = 32^2. \]

Conclusion :
Les deux expressions sont identiques.


Récapitulatif
  1. \(\displaystyle 3^3 \times 5^3 = 15^3\)
  2. \(\displaystyle 8^2 \times 9^2 = 72^2\)
  3. \(\displaystyle 7^3 \times 3^3 = 21^3\)
  4. \(\displaystyle 4^2 \times 9^2 = 36^2\)
  5. \(\displaystyle 12^2 \times 8^2 = 96^2\)
  6. \(\displaystyle 4^2 \times 8^2 = 32^2\)

Chaque fois, nous avons utilisé la propriété qui permet de combiner les puissances quand les exposants sont identiques en multipliant les bases.

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