Exercice 36

Exercice : Ordonnez les nombres suivants par ordre décroissant.

1. \(\;2^{3}, \;2^{5}, \;2^{1}, \;2^{7}, \;2^{6}, \;2^{4}, \;2^{2}\)

2. \(\;6^{5}, \;3^{5}, \;5^{5}, \;1^{5}, \;7^{5}, \;4^{5}\)

3. \(\;2^{3}, \;3^{2}, \;1^{12}, \;10^{3}, \;3^{3}\)

4. \(\;2^{6}, \;4^{2}, \;8^{4}, \;4^{1}, \;2^{3}, \;5^{2}, \;10^{5}\)

Réponse

Réponses :
1) 2⁷, 2⁶, 2⁵, 2⁴, 2³, 2², 2¹
2) 7⁵, 6⁵, 5⁵, 4⁵, 3⁵, 1⁵
3) 10³, 3³, 3², 2³, 1¹²
4) 10⁵, 8⁴, 2⁶, 5², 4², 2³, 4¹

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice, en expliquant pas à pas toute la démarche.

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1) Ordre décroissant de \(\;2^{3}, \;2^{5}, \;2^{1}, \;2^{7}, \;2^{6}, \;2^{4}, \;2^{2}\)

Étape 1 :
On remarque que toutes les expressions sont des puissances de 2. Pour un même nombre de base, plus l’exposant est grand, plus la valeur est importante. Autrement dit, si \(a > b\) alors \(2^a > 2^b\).

Étape 2 :
Liste des exponents :
\[ \begin{array}{ccl} 2^{1} &\rightarrow& \text{exposant } 1 \\ 2^{2} &\rightarrow& \text{exposant } 2 \\ 2^{3} &\rightarrow& \text{exposant } 3 \\ 2^{4} &\rightarrow& \text{exposant } 4 \\ 2^{5} &\rightarrow& \text{exposant } 5 \\ 2^{6} &\rightarrow& \text{exposant } 6 \\ 2^{7} &\rightarrow& \text{exposant } 7 \\ \end{array} \]

Étape 3 :
Pour ordonner en décroissant, on place d’abord le plus grand exposant, puis les suivants. L’ordre devient donc :
\[ 2^{7}, \;2^{6}, \;2^{5}, \;2^{4}, \;2^{3}, \;2^{2}, \;2^{1}. \]

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2) Ordre décroissant de \(\;6^{5}, \;3^{5}, \;5^{5}, \;1^{5}, \;7^{5}, \;4^{5}\)

Étape 1 :
Ici, la même puissance (exposant 5) est appliquée à différentes bases.
La multiplication répétée d’une même base par elle-même signifie que pour comparer, il suffit de comparer les bases.

Étape 2 :
Comparer les bases :
\[ 1,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6,\, 7. \]

Étape 3 :
La plus grande base est \(7\), ensuite \(6\) puis \(5\), \(4\), \(3\) et enfin \(1\).
L’ordre décroissant est alors :
\[ 7^{5}, \;6^{5}, \;5^{5}, \;4^{5}, \;3^{5}, \;1^{5}. \]

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3) Ordre décroissant de \(\;2^{3}, \;3^{2}, \;1^{12}, \;10^{3}, \;3^{3}\)

Étape 1 :
Il est nécessaire de calculer la valeur de chaque expression :

• \(2^3 = 8\)
• \(3^2 = 9\)
• \(1^{12} = 1\) (tout nombre élevé à une puissance, s’il est 1, donne 1)
• \(10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000\)
• \(3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27\)

Étape 2 :
Comparer les valeurs obtenues :
\[ 1000,\; 27,\; 9,\; 8,\; 1. \]

Étape 3 :
Ordonner en décroissant du plus grand au plus petit :
- Le plus grand est \(1000\) qui correspond à \(10^3\). - Vient ensuite \(27\) qui correspond à \(3^3\). - Puis \(9\) pour \(3^2\). - Ensuite \(8\) pour \(2^3\). - Enfin \(1\) pour \(1^{12}\).

L’ordre décroissant est donc :
\[ 10^{3}, \;3^{3}, \;3^{2}, \;2^{3}, \;1^{12}. \]

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4) Ordre décroissant de \(\;2^{6}, \;4^{2}, \;8^{4}, \;4^{1}, \;2^{3}, \;5^{2}, \;10^{5}\)

Étape 1 :
Calculons la valeur de chacune des expressions :

• \(2^6 = 64\)
• \(4^2 = 4 \times 4 = 16\)
• \(8^4 = 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 4096\)
• \(4^1 = 4\)
• \(2^3 = 8\)
• \(5^2 = 25\)
• \(10^5 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 100\,000\)

Étape 2 :
Comparer ces valeurs : \[ 100\,000,\; 4096,\; 64,\; 25,\; 16,\; 8,\; 4. \]

Étape 3 :
Ordonner en décroissant :

1. \(100\,000\) (correspond à \(10^5\))
2. \(4096\) (correspond à \(8^4\))
3. \(64\) (correspond à \(2^6\))
4. \(25\) (correspond à \(5^2\))
5. \(16\) (correspond à \(4^2\))
6. \(8\) (correspond à \(2^3\))
7. \(4\) (correspond à \(4^1\))

L’ordre décroissant est donc :
\[ 10^{5}, \;8^{4}, \;2^{6}, \;5^{2}, \;4^{2}, \;2^{3}, \;4^{1}. \]

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Récapitulatif des réponses

1. \(\;2^{7}, \;2^{6}, \;2^{5}, \;2^{4}, \;2^{3}, \;2^{2}, \;2^{1}\)

2. \(\;7^{5}, \;6^{5}, \;5^{5}, \;4^{5}, \;3^{5}, \;1^{5}\)

3. \(\;10^{3}, \;3^{3}, \;3^{2}, \;2^{3}, \;1^{12}\)

4. \(\;10^{5}, \;8^{4}, \;2^{6}, \;5^{2}, \;4^{2}, \;2^{3}, \;4^{1}\)

Cette démarche permet de bien comprendre que dans un ordre décroissant, on place les plus grandes valeurs au début et que, lorsque l’exposant est commun, il suffit de comparer directement les bases.