Exercice 34

Exercice : Complétez les expressions suivantes en appliquant les règles de multiplication des puissances pour une même base :

1. \(a^5 \cdot a^7 = a^{\underline{\quad}}\)

2. \(x \cdot y^3 \cdot x^4 \cdot y^2 = x^{\underline{\quad}} \cdot y^{\underline{\quad}}\)

3. \(x^7 \cdot x^{\underline{\quad}} = x^{12}\)

4. \(x^2 \cdot y^3 \cdot x^{\underline{\quad}} = x^3 \cdot y^{\underline{\quad}}\)

5. \(y^4 \cdot x^7 \cdot x^{\underline{\quad}} \cdot y^2 = x^9 \cdot y^{\underline{\quad}}\)

6. \(x \cdot x^6 = x^{\underline{\quad}}\)

Réponse

Réponses : 1) 12 2) x⁵ · y⁵ 3) 5 4) x : 1 et y : 3 5) x : 2 et y : 6 6) 7.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression :

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Règle de base utilisée

Pour multiplier des puissances de même base, on ajoute les exposants. Formellement, pour tout nombre réel \(a\) et tous les nombres entiers \(m\) et \(n\) :

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

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1) \(a^5 \cdot a^7\)

Nous avons la même base \(a\). On applique donc la règle :

\[ a^5 \cdot a^7 = a^{5+7} = a^{12} \]

Réponse : \(\underline{12}\)

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2) \(x \cdot y^3 \cdot x^4 \cdot y^2\)

Ici, on regroupe les termes ayant la même base :

• Pour la base \(x\) : \[ x \cdot x^4 = x^{1+4} = x^5 \] (Rappel : \(x\) s’écrit aussi \(x^1\).)

• Pour la base \(y\) : \[ y^3 \cdot y^2 = y^{3+2} = y^5 \]

Ainsi,

\[ x \cdot y^3 \cdot x^4 \cdot y^2 = x^5 \cdot y^5 \]

Réponse : \(x^{\underline{5}} \cdot y^{\underline{5}}\)

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3) \(x^7 \cdot x^{\underline{\quad}} = x^{12}\)

On cherche l’exposant manquant \(k\) tel que :

\[ x^7 \cdot x^k = x^{7+k} = x^{12} \]

D’où :

\[ 7 + k = 12 \quad \Longrightarrow \quad k = 12 - 7 = 5 \]

Réponse : \(\underline{5}\)

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4) \(x^2 \cdot y^3 \cdot x^{\underline{\quad}} = x^3 \cdot y^{\underline{\quad}}\)

Regroupons d’abord les puissances de \(x\) :

• Les puissances de \(x\) : \[ x^2 \cdot x^k = x^{2+k} \] L’expression donne \(x^{2+k} = x^3\). Ainsi, \[ 2+k = 3 \quad \Longrightarrow \quad k = 1 \]

Pour \(y\), il n’y a qu’un terme dans le membre de gauche :

• Les puissances de \(y\) : \[ y^3 = y^3 \] Ce qui signifie que le blanc à droite est \(\underline{3}\).

Réponse : Pour \(x\) : \(\underline{1}\) et pour \(y\) : \(\underline{3}\)

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5) \(y^4 \cdot x^7 \cdot x^{\underline{\quad}} \cdot y^2 = x^9 \cdot y^{\underline{\quad}}\)

Séparons les membres selon la base :

• Pour \(x\) : \[ x^7 \cdot x^k = x^{7+k} \] Le membre de droite est \(x^9\), donc : \[ 7+k = 9 \quad \Longrightarrow \quad k = 2 \]

• Pour \(y\) : \[ y^4 \cdot y^2 = y^{4+2} = y^{6} \] Le membre de droite correspondant est \(y^{6}\).

Réponse : Pour \(x\) : \(\underline{2}\) et pour \(y\) : \(\underline{6}\)

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6) \(x \cdot x^6 = x^{\underline{\quad}}\)

Encore une fois, on additionne les exposants pour la base \(x\) :

\[ x \cdot x^6 = x^{1+6} = x^{7} \]

Réponse : \(\underline{7}\)

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Récapitulatif des réponses

1. \(a^5 \cdot a^7 = a^{12}\)

2. \(x \cdot y^3 \cdot x^4 \cdot y^2 = x^{5} \cdot y^{5}\)

3. \(x^7 \cdot x^{5} = x^{12}\)

4. \(x^2 \cdot y^3 \cdot x^{1} = x^3 \cdot y^{3}\)

5. \(y^4 \cdot x^7 \cdot x^{2} \cdot y^2 = x^9 \cdot y^{6}\)

6. \(x \cdot x^6 = x^{7}\)

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Chaque étape utilise la règle fondamentale qui consiste à additionner les exposants lorsque l’on multiplie des puissances ayant la même base. Cette méthode permet de simplifier les expressions et d’obtenir rapidement le résultat.