Exercice 33

Exercice : Complétez les expressions suivantes en trouvant l’exposant manquant.

1. \(x \cdot x^{2} \cdot x^{3} = x^{\cdots}\)

2. \(y^{3} \cdot y^{\cdots} = y^{4}\)

3. \(x^{5} \cdot x^{\cdots} = x^{9}\)

4. \(a^{4} \cdot a^{\cdots} \cdot a^{3} = a^{9}\)

5. \(y \cdot y^{3} \cdot y^{2} \cdot y^{0} = y^{\cdots}\)

6. \(a^{3} \cdot b^{2} \cdot a^{4} \cdot a^{2} = a^{\cdots} \cdot b^{\cdots}\)

7. \(a^{5} \cdot b^{\cdots} \cdot a^{\cdots} \cdot b^{2} = a^{8} \cdot b^{5}\)

8. \(x^{5} \cdot y^{\cdots} \cdot y^{4} \cdot x^{\cdots} = x^{6} \cdot y^{4}\)

Réponse

Exercice 1 : x·x²·x³ = x⁶
Exercice 2 : y³·y¹ = y⁴
Exercice 3 : x⁵·x⁴ = x⁹
Exercice 4 : a⁴·a²·a³ = a⁹
Exercice 5 : y·y³·y²·y⁰ = y⁶
Exercice 6 : a³·a⁴·a²·b² = a⁹·b²
Exercice 7 : a⁵·a³·b³·b² = a⁸·b⁵
Exercice 8 : x⁵·x¹·y⁰·y⁴ = x⁶·y⁴

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression :

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Rappel de la propriété utilisée

Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants.
Si on a \(a^m \cdot a^n\), on obtient \(a^{m+n}\).

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Exercice 1

Énoncé :
\[ x \cdot x^{2} \cdot x^{3} = x^{\cdots} \]

Étapes :

1. Remarquons que \(x = x^1\).
2. On additionne les exposants :
   \[ 1 + 2 + 3 = 6 \]
3. Ainsi,
   \[ x \cdot x^{2} \cdot x^{3} = x^{6}. \]

Réponse :
L’exposant manquant est \(6\).

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Exercice 2

Énoncé :
\[ y^{3} \cdot y^{\cdots} = y^{4} \]

Étapes :

1. On sait que la multiplication donne :
   \[ y^{3} \cdot y^{\text{?}} = y^{3+\text{?}}. \]
2. Pour obtenir \(y^4\), il faut que :
   \[ 3 + \text{?} = 4. \]
3. On en déduit que :
   \[ \text{?} = 4 - 3 = 1. \]

Réponse :
L’exposant manquant est \(1\).

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Exercice 3

Énoncé :
\[ x^{5} \cdot x^{\cdots} = x^{9} \]

Étapes :

1. En utilisant la propriété,
   \[ x^{5} \cdot x^{\text{?}} = x^{5+\text{?}}. \]
2. Pour que le résultat soit \(x^{9}\), on doit avoir :
   \[ 5 + \text{?} = 9. \]
3. Ainsi,
   \[ \text{?} = 9 - 5 = 4. \]

Réponse :
L’exposant manquant est \(4\).

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Exercice 4

Énoncé :
\[ a^{4} \cdot a^{\cdots} \cdot a^{3} = a^{9} \]

Étapes :

1. On regroupe les puissances de \(a\) :
   \[ a^{4} \cdot a^{\text{?}} \cdot a^{3} = a^{4+\text{?}+3}. \]
2. On veut que la somme des exposants soit \(9\) :
   \[ 4 + \text{?} + 3 = 9. \]
3. Calculons la somme des exposants connus :
   \[ 4 + 3 = 7. \]
4. On a alors :
   \[ 7 + \text{?} = 9 \quad \Longrightarrow \quad \text{?} = 9 - 7 = 2. \]

Réponse :
L’exposant manquant est \(2\).

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Exercice 5

Énoncé :
\[ y \cdot y^{3} \cdot y^{2} \cdot y^{0} = y^{\cdots} \]

Étapes :

1. On écrit \(y\) comme \(y^1\).
2. On additionne les exposants :
   \[ 1 + 3 + 2 + 0 = 6. \]
3. Ainsi,
   \[ y \cdot y^{3} \cdot y^{2} \cdot y^{0} = y^{6}. \]

Réponse :
L’exposant manquant est \(6\).

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Exercice 6

Énoncé :
\[ a^{3} \cdot b^{2} \cdot a^{4} \cdot a^{2} = a^{\cdots} \cdot b^{\cdots} \]

Étapes :

1. Pour la base \(a\) :
   \[ a^{3} \cdot a^{4} \cdot a^{2} = a^{3+4+2} = a^{9}. \]
2. La base \(b\) apparaît une seule fois sous la forme \(b^{2}\).

Réponse :
La multiplication donne \(a^{9} \cdot b^{2}\).

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Exercice 7

Énoncé :
\[ a^{5} \cdot b^{\cdots} \cdot a^{\cdots} \cdot b^{2} = a^{8} \cdot b^{5} \]

Étapes :

1. Notons les exposants manquants : pour \(a\) utilisons \(p\) et pour \(b\) utilisons \(q\).
2. Pour la base \(a\), la multiplication donne :
   \[ a^{5} \cdot a^{p} = a^{5+p}. \] On souhaite obtenir \(a^{8}\), donc
   \[ 5 + p = 8 \quad \Longrightarrow \quad p = 3. \]
3. Pour la base \(b\) :
   \[ b^{q} \cdot b^{2} = b^{q+2}. \] On doit avoir :
   \[ q + 2 = 5 \quad \Longrightarrow \quad q = 3. \]

Réponse :
Les exposants manquants sont \(3\) pour \(a\) et \(3\) pour \(b\).
L’expression devient \(a^{8} \cdot b^{5}\).

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Exercice 8

Énoncé :
\[ x^{5} \cdot y^{\cdots} \cdot y^{4} \cdot x^{\cdots} = x^{6} \cdot y^{4} \]

Étapes :

1. On note les exposants manquants : pour \(y\) utilisons \(r\) et pour \(x\) utilisons \(s\).
2. Pour la base \(x\) :
   \[ x^{5} \cdot x^{s} = x^{5+s}. \] Pour obtenir \(x^{6}\), il faut que :
   \[ 5 + s = 6 \quad \Longrightarrow \quad s = 1. \]
3. Pour la base \(y\) :
   \[ y^{r} \cdot y^{4} = y^{r+4}. \] Le résultat souhaité est \(y^{4}\). Donc :
   \[ r + 4 = 4 \quad \Longrightarrow \quad r = 0. \]

Réponse :
Les exposants manquants sont \(0\) pour \(y\) et \(1\) pour \(x\).
L’expression devient \(x^{6} \cdot y^{4}\).

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Chaque étape a permis de trouver l’exposant manquant en utilisant la règle fondamentale de l’addition des exposants lors de la multiplication de puissances à même base.