Exercice 32

Exercice : Complétez par l’exposant manquant

1. \(a^{3} \cdot a^{5} = a^{\underline{\quad}}\)
   
2. \(x^{5} \cdot x = x^{\underline{\quad}}\)
   
3. \(a^{4} \cdot a^{3} = a^{\underline{\quad}}\)
   
4. \(x^{3} \cdot x^{0} = x^{\underline{\quad}}\)
   
5. \(b^{2} \cdot b^{2} = b^{\underline{\quad}}\)
   
6. \(x^{3} \cdot x = x^{\underline{\quad}}\)
   
7. \(a^{3} \cdot a^{\underline{\quad}} = a^{5}\)
   
8. \(x^{2} \cdot x^{\underline{\quad}} = x^{2}\)
   
9. \(b \cdot b = b^{\underline{\quad}}\)

Réponse

Voici les réponses courtes de l’exercice :

1. a³·a⁵ → exposant 8
   
2. x⁵·x = x⁶ → exposant 6
   
3. a⁴·a³ = a⁷ → exposant 7
   
4. x³·x⁰ = x³ → exposant 3
   
5. b²·b² = b⁴ → exposant 4
   
6. x³·x = x⁴ → exposant 4
   
7. a³·a^? = a⁵ → exposant manquant 2
   
8. x²·x^? = x² → exposant manquant 0
   
9. b·b = b² → exposant 2

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chaque question de l’exercice :

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Règle utilisée :

Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants. En effet, pour toute base \(a\) (différente de 0) et pour tous les entiers \(m\) et \(n\), on a : \[ a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n} \]

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Correction pas à pas :

1. Exemple : \(a^{3} \cdot a^{5}\)

   • Étape 1 : Identifier les exposants de \(a\) qui sont \(3\) et \(5\).
     
   • Étape 2 : Additionner les exposants : \(3 + 5 = 8\).
     
   • Conclusion :
     \[ a^{3} \cdot a^{5} = a^{8} \] La réponse est 8.

2. Exemple : \(x^{5} \cdot x\)

   • Étape 1 : Remarquer que \(x\) s’écrit \(x^{1}\).
     
   • Étape 2 : Additionner les exposants : \(5 + 1 = 6\).
     
   • Conclusion :
     \[ x^{5} \cdot x = x^{6} \] La réponse est 6.

3. Exemple : \(a^{4} \cdot a^{3}\)

   • Étape 1 : Additionner les exposants \(4\) et \(3\) : \(4 + 3 = 7\).
     
   • Conclusion :
     \[ a^{4} \cdot a^{3} = a^{7} \] La réponse est 7.

4. Exemple : \(x^{3} \cdot x^{0}\)

   • Étape 1 : Rappel : \(x^{0} = 1\) pour toute valeur de \(x\) différente de 0.
     
   • Étape 2 : Additionner les exposants \(3\) et \(0\) : \(3 + 0 = 3\).
     
   • Conclusion :
     \[ x^{3} \cdot x^{0} = x^{3} \] La réponse est 3.

5. Exemple : \(b^{2} \cdot b^{2}\)

   • Étape 1 : Additionner les exposants \(2\) et \(2\) : \(2 + 2 = 4\).
     
   • Conclusion :
     \[ b^{2} \cdot b^{2} = b^{4} \] La réponse est 4.

6. Exemple : \(x^{3} \cdot x\)

   • Étape 1 : Remarquer que \(x = x^{1}\).
     
   • Étape 2 : Additionner les exposants \(3\) et \(1\) : \(3 + 1 = 4\).
     
   • Conclusion :
     \[ x^{3} \cdot x = x^{4} \] La réponse est 4.

7. Exemple : \(a^{3} \cdot a^{\underline{\quad}} = a^{5}\)

   • Étape 1 : Soit l’exposant manquant \(e\), alors la multiplication donne :
     \[ a^{3} \cdot a^{e} = a^{3+e} \]
   • Étape 2 : On sait que \(a^{3+e} = a^{5}\), donc :
     \[ 3 + e = 5 \]
   • Étape 3 : Résoudre l’équation :
     \[ e = 5 - 3 = 2 \]
   • Conclusion :
     L’exposant manquant est 2.

8. Exemple : \(x^{2} \cdot x^{\underline{\quad}} = x^{2}\)

   • Étape 1 : Soit l’exposant manquant \(f\), alors :
     \[ x^{2} \cdot x^{f} = x^{2+f} \]
   • Étape 2 : Comme le résultat est \(x^{2}\), on a :
     \[ 2 + f = 2 \]
   • Étape 3 : Résoudre l’équation :
     \[ f = 2 - 2 = 0 \]
   • Conclusion :
     L’exposant manquant est 0.

9. Exemple : \(b \cdot b\)

   • Étape 1 : Remarquer que \(b\) s’écrit \(b^{1}\).
     
   • Étape 2 : Multiplier \(b^{1} \cdot b^{1} = b^{1+1} = b^{2}\).
     
   • Conclusion :
     La réponse est 2.

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Récapitulatif des réponses :

1. \(a^{3} \cdot a^{5} = a^{8}\) → exposant = 8
   
2. \(x^{5} \cdot x = x^{6}\) → exposant = 6
   
3. \(a^{4} \cdot a^{3} = a^{7}\) → exposant = 7
   
4. \(x^{3} \cdot x^{0} = x^{3}\) → exposant = 3
   
5. \(b^{2} \cdot b^{2} = b^{4}\) → exposant = 4
   
6. \(x^{3} \cdot x = x^{4}\) → exposant = 4
   
7. \(a^{3} \cdot a^{?} = a^{5}\) → exposant manquant = 2
   
8. \(x^{2} \cdot x^{?} = x^{2}\) → exposant manquant = 0
   
9. \(b \cdot b = b^{2}\) → exposant = 2

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Chaque étape repose sur la même règle fondamentale d’addition des exposants lors de la multiplication. J’espère que cette correction détaillée vous aide à mieux comprendre la méthode !