Exercice 31

Complétez les expressions suivantes en indiquant les exposants manquants :

1. \(3^2 \cdot 3^4 \cdot 3^1 = 3^{\ldots}\)

2. \(2^2 \cdot 3^4 \cdot 2^3 \cdot 3^4 = 2^{\ldots} \cdot 3^{\ldots}\)

3. \(4^2 \cdot 5^3 \cdot 4^4 = 4^{\ldots} \cdot 5^{\ldots}\)

4. \(3^2 \cdot 3^5 \cdot 2^{\ldots} \cdot 3^{\ldots} = 2^6 \cdot 3^9\)

5. \(3^2 \cdot 3^{\ldots} \cdot 2^4 \cdot 2^{\ldots} = 2^7 \cdot 3^5\)

6. \(2^{\ldots} \cdot 3^{\ldots} \cdot 2^4 \cdot 3^3 = 2^4 \cdot 3^5\)

7. \(7^3 \cdot 3^4 \cdot 3^{\ldots} \cdot 7^{\ldots} = 3^6 \cdot 7^9\)

8. \(2^7 \cdot 2^{\ldots} \cdot 3^4 \cdot 3^{\ldots} = 2^7 \cdot 3^4\)

Réponse

Réponses très courtes en résumé :

1. 3^7
   
2. 2^5 · 3^8
   
3. 4^6 · 5^3
   
4. 2^6 · 3^9
   
5. 2^7 · 3^5
   
6. 2^4 · 3^5
   
7. 3^6 · 7^9
   
8. 2^7 · 3^4

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression.

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1) Expression :

\[ 3^2 \cdot 3^4 \cdot 3^1 = 3^{\ldots} \]

Explication :
Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants.
- Exposants : \(2 + 4 + 1 = 7\).

Conclusion :
\[ 3^2 \cdot 3^4 \cdot 3^1 = 3^7. \]

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2) Expression :

\[ 2^2 \cdot 3^4 \cdot 2^3 \cdot 3^4 = 2^{\ldots} \cdot 3^{\ldots} \]

Explication :
Regroupons les termes de même base.

Pour la base 2 :
- \(2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5\).

Pour la base 3 :
- \(3^4 \cdot 3^4 = 3^{4+4} = 3^8\).

Conclusion :
\[ 2^2 \cdot 3^4 \cdot 2^3 \cdot 3^4 = 2^5 \cdot 3^8. \]

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3) Expression :

\[ 4^2 \cdot 5^3 \cdot 4^4 = 4^{\ldots} \cdot 5^{\ldots} \]

Explication :
Nous regroupons les puissances de la même base.

Pour la base 4 :
- \(4^2 \cdot 4^4 = 4^{2+4} = 4^6\).

Pour la base 5 :
- Il n’y a qu’un seul terme \(5^3\).

Conclusion :
\[ 4^2 \cdot 5^3 \cdot 4^4 = 4^6 \cdot 5^3. \]

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4) Expression :

\[ 3^2 \cdot 3^5 \cdot 2^{\ldots} \cdot 3^{\ldots} = 2^6 \cdot 3^9 \]

Explication :

1. Pour la base 3 :
   • Les exposants sont \(2\), \(5\) et l’exposant manquant, notons-le \(x\).
     
   • On a alors \(3^{2+5+x} = 3^9\)
     \[ 2 + 5 + x = 9 \quad \Longrightarrow \quad x = 9 - 7 = 2. \]
2. Pour la base 2 :
   • Le seul terme est \(2^{\ldots}\) et doit être égal à \(2^6\).
     
   • L’exposant manquant est donc \(6\).

Conclusion :
\[ 3^2 \cdot 3^5 \cdot 2^6 \cdot 3^2 = 2^6 \cdot 3^9. \]

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5) Expression :

\[ 3^2 \cdot 3^{\ldots} \cdot 2^4 \cdot 2^{\ldots} = 2^7 \cdot 3^5 \]

Explication :

1. Pour la base 3 :
   • Les exposants sont \(2\) et un exposant manquant, notons-le \(a\).
     
   • On a \(3^{2+a} = 3^5\)
     \[ 2 + a = 5 \quad \Longrightarrow \quad a = 3. \]
2. Pour la base 2 :
   • Les exposants sont \(4\) et un exposant manquant, notons-le \(b\).
     
   • On a \(2^{4+b} = 2^7\)
     \[ 4 + b = 7 \quad \Longrightarrow \quad b = 3. \]

Conclusion :
\[ 3^2 \cdot 3^3 \cdot 2^4 \cdot 2^3 = 2^7 \cdot 3^5. \]

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6) Expression :

\[ 2^{\ldots} \cdot 3^{\ldots} \cdot 2^4 \cdot 3^3 = 2^4 \cdot 3^5 \]

Explication :

1. Pour la base 2 :
   • Notons l’exposant manquant \(p\).
     
   • \(2^{p} \cdot 2^4 = 2^{p+4}\) et ceci doit être égal à \(2^4\).
     \[ p + 4 = 4 \quad \Longrightarrow \quad p = 0. \]
2. Pour la base 3 :
   • Notons l’exposant manquant \(q\).
     
   • \(3^{q} \cdot 3^3 = 3^{q+3}\) et ceci doit être égal à \(3^5\).
     \[ q + 3 = 5 \quad \Longrightarrow \quad q = 2. \]

Conclusion :
\[ 2^0 \cdot 3^2 \cdot 2^4 \cdot 3^3 = 2^4 \cdot 3^5. \]

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7) Expression :

\[ 7^3 \cdot 3^4 \cdot 3^{\ldots} \cdot 7^{\ldots} = 3^6 \cdot 7^9 \]

Explication :

1. Pour la base 7 :
   • Les exposants sont \(3\) et un exposant manquant, notons-le \(c\).
     
   • On a \(7^{3+c} = 7^9\)
     \[ 3 + c = 9 \quad \Longrightarrow \quad c = 6. \]
2. Pour la base 3 :
   • Les exposants sont \(4\) et un exposant manquant, notons-le \(d\).
     
   • On a \(3^{4+d} = 3^6\)
     \[ 4 + d = 6 \quad \Longrightarrow \quad d = 2. \]

Conclusion :
\[ 7^3 \cdot 3^4 \cdot 3^2 \cdot 7^6 = 3^6 \cdot 7^9. \]

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8) Expression :

\[ 2^7 \cdot 2^{\ldots} \cdot 3^4 \cdot 3^{\ldots} = 2^7 \cdot 3^4 \]

Explication :

1. Pour la base 2 :
   • Notons l’exposant manquant \(e\).
     
   • \(2^{7+e} = 2^7\)
     \[ 7 + e = 7 \quad \Longrightarrow \quad e = 0. \]
2. Pour la base 3 :
   • Notons l’exposant manquant \(f\).
     
   • \(3^{4+f} = 3^4\)
     \[ 4 + f = 4 \quad \Longrightarrow \quad f = 0. \]

Conclusion :
\[ 2^7 \cdot 2^0 \cdot 3^4 \cdot 3^0 = 2^7 \cdot 3^4. \]

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Récapitulatif des réponses :

1. \(3^7\)

2. \(2^5 \cdot 3^8\)

3. \(4^6 \cdot 5^3\)

4. \(2^6 \cdot 3^2\)

5. \(2^3 \cdot 3^3\)

6. \(2^0 \cdot 3^2\)

7. \(7^6 \cdot 3^2\)

8. \(2^0 \cdot 3^0\)

Chaque étape a été détaillée pour montrer comment regrouper les puissances de même base et additionner les exposants afin d’obtenir le résultat final.