Exercice 30

Exercice

Complétez les exposants manquants :

\(3^{6} \cdot 3^{\cdots} = 3^{8}\)
\(2^{6} \cdot 2^{4} = 2^{\cdots}\)
\(7^{\cdots} \cdot 7^{2} = 7^{2}\)
\(8^{3} \cdot 8^{\cdots} = 8^{7}\)
\(6^{\cdots} \cdot 6^{2} = 6^{3}\)
\(2^{4} \cdot 2 = 2^{\cdots}\)
\(6^{2} \cdot 6^{\cdots} = 6^{6}\)
\(4^{4} \cdot 4 = 4\)
\(3^{2} \cdot 3^{\cdots} \cdot 3^{4} = 3^{7}\)

Réponse

Voici le résumé des réponses :

2
2^6 × 2^4 = 2^10
0
4
1
2^4 × 2 = 2^5
4
-3
1

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chacune des questions.

Rappel de la règle des exposants

Pour multiplier deux puissances de même base, on additionne les exposants.
Si on a \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), alors l’exposant du résultat est la somme des exposants.

1) \(3^{6} \cdot 3^{\cdots} = 3^{8}\)

Étape 1 :
On sait que
\[ 3^6 \cdot 3^x = 3^{6+x} \,. \]

Étape 2 :
Il faut que \(6+x = 8\).
On résout donc :
\[ x = 8 - 6 = 2 \,. \]

Conclusion :
La puissance manquante est \(2\) :
\[ 3^{6} \cdot 3^2 = 3^{8}\,. \]

2) \(2^{6} \cdot 2^{4} = 2^{\cdots}\)

Étape 1 :
En appliquant la règle des exposants on a :
\[ 2^6 \cdot 2^4 = 2^{6+4} = 2^{10}\,. \]

Conclusion :
La puissance complète est \(2^{10}\).

3) \(7^{\cdots} \cdot 7^{2} = 7^{2}\)

Étape 1 :
Soit \(7^y \cdot 7^2 = 7^{y+2}\).

Étape 2 :
L’égalité nous donne :
\[ 7^{y+2} = 7^2\,. \] On doit avoir \(y + 2 = 2\).

Étape 3 :
Donc,
\[ y = 2 - 2 = 0\,. \]

Conclusion :
La puissance manquante est \(0\) (rappel : \(a^0 = 1\)).
On obtient :
\[ 7^{0} \cdot 7^{2} = 7^{2}\,. \]

4) \(8^{3} \cdot 8^{\cdots} = 8^{7}\)

Étape 1 :
Soit \(8^{3} \cdot 8^x = 8^{3+x}\).

Étape 2 :
On veut que \(3+x = 7\).

Étape 3 :
Donc,
\[ x = 7 - 3 = 4\,. \]

Conclusion :
La puissance manquante est \(4\).
\[ 8^{3} \cdot 8^{4} = 8^{7}\,. \]

5) \(6^{\cdots} \cdot 6^{2} = 6^{3}\)

Étape 1 :
Soit \(6^y \cdot 6^2 = 6^{y+2}\).

Étape 2 :
L’égalité impose \(y + 2 = 3\).

Étape 3 :
On trouve :
\[ y = 3 - 2 = 1\,. \]

Conclusion :
La puissance manquante est \(1\).
\[ 6^{1} \cdot 6^{2} = 6^{3}\,. \]

6) \(2^{4} \cdot 2 = 2^{\cdots}\)

Étape 1 :
On écrit \(2\) sous forme de puissance :
\[ 2 = 2^1\,. \]

Étape 2 :
Alors,
\[ 2^{4} \cdot 2^1 = 2^{4+1} = 2^{5}\,. \]

Conclusion :
La puissance complète est \(2^{5}\).

7) \(6^{2} \cdot 6^{\cdots} = 6^{6}\)

Étape 1 :
On écrit le produit comme :
\[ 6^{2} \cdot 6^x = 6^{2+x}\,. \]

Étape 2 :
Pour que cela soit égal à \(6^{6}\), il faut que \(2+x = 6\).

Étape 3 :
On résout :
\[ x = 6 - 2 = 4\,. \]

Conclusion :
La puissance manquante est \(4\).
\[ 6^{2} \cdot 6^{4} = 6^{6}\,. \]

8) \(4^{4} \cdot 4 = 4\)

Étape 1 :
On réécrit le \(4\) en écriture exponentielle :
\[ 4 = 4^1\,. \]

Étape 2 :
Le produit s’écrit :
\[ 4^{4} \cdot 4^x = 4^{4+x}\,. \] On souhaite que le résultat soit égal à \(4^1\) (puisque \(4 = 4^1\)).

Étape 3 :
L’égalité impose :
\[ 4+x = 1\,. \]

Étape 4 :
On trouve :
\[ x = 1 - 4 = -3\,. \]

Conclusion :
La puissance manquante est \(-3\).
\[ 4^{4} \cdot 4^{-3} = 4^1\,, \quad \text{donc } 4^{4} \cdot 4^{-3} = 4\,. \]

9) \(3^{2} \cdot 3^{\cdots} \cdot 3^{4} = 3^{7}\)

Étape 1 :
Soit \(3^{2} \cdot 3^x \cdot 3^{4} = 3^{2+x+4} = 3^{x+6}\).

Étape 2 :
On doit avoir :
\[ x + 6 = 7\,. \]

Étape 3 :
On trouve :
\[ x = 7 - 6 = 1\,. \]

Conclusion :
La puissance manquante est \(1\).
\[ 3^{2} \cdot 3^{1} \cdot 3^{4} = 3^{7}\,. \]

Réponses récapitulatives

La puissance manquante est \(2\).
\(2^{6} \cdot 2^{4} = 2^{10}\).
La puissance manquante est \(0\).
La puissance manquante est \(4\).
La puissance manquante est \(1\).
\(2^{4} \cdot 2 = 2^{5}\).
La puissance manquante est \(4\).
La puissance manquante est \(-3\).
La puissance manquante est \(1\).

Chaque étape utilise la règle d’addition des exposants lors de la multiplication. J’espère que cette correction vous aide à mieux comprendre comment manipuler les exposants !