Soit les calculs suivants à effectuer :
Calculer \(20^2\) et \(2^2 \cdot 10^2\).
Calculer \(600^2\) et \(6^2 \cdot 100^2\).
Calculer \(0,3^2\) et \(3^2 \cdot 0,1^2\).
Calculer \(70^2\) et \(7^2 \cdot 10^2\).
Calculer \(0,8^2\) et \(8^2 \cdot 0,1^2\).
Calculer \(20^4\) et \(2^4 \cdot 10^4\).
Les deux expressions de chaque exercice donnent le même résultat
:
1) 400, 2) 360 000, 3) 0,09, 4) 4 900, 5) 0,64, 6) 160 000.
Voici une correction détaillée en plusieurs étapes pour chacun des calculs proposés.
Étape 1 : Calcul de \(20^2\)
Nous savons que : \[ 20^2 = 20 \times 20 \]
En effectuant la multiplication : \[ 20 \times 20 = 400 \]
Donc, \[ 20^2 = 400. \]
Étape 2 : Calcul de \(2^2 \cdot 10^2\)
Calculons d’abord séparément chaque puissance.
\(2^2\) :
\[
2^2 = 2 \times 2 = 4.
\]
\(10^2\) :
\[
10^2 = 10 \times 10 = 100.
\]
Ensuite, multiplions ces deux résultats : \[ 2^2 \cdot 10^2 = 4 \times 100 = 400. \]
Conclusion :
Les deux calculs donnent le même résultat, soit \(400\).
Étape 1 : Calcul de \(600^2\)
On écrit : \[ 600^2 = 600 \times 600. \]
On peut remarquer que : \[ 600 = 6 \times 100. \]
Mais en procédant directement : \[ 600 \times 600 = 360\,000. \]
Donc, \[ 600^2 = 360\,000. \]
Étape 2 : Calcul de \(6^2 \cdot 100^2\)
Calculons chaque terme :
\(6^2\) : \[ 6^2 = 6 \times 6 = 36. \]
\(100^2\) : \[ 100^2 = 100 \times 100 = 10\,000. \]
Puis, multiplions : \[ 6^2 \cdot 100^2 = 36 \times 10\,000 = 360\,000. \]
Conclusion :
Les deux expressions donnent \(360\,000\).
Étape 1 : Calcul de \(0,3^2\)
Ici, \[ 0,3^2 = 0,3 \times 0,3. \]
En effectuant la multiplication : \[ 0,3 \times 0,3 = 0,09. \]
Donc, \[ 0,3^2 = 0,09. \]
Étape 2 : Calcul de \(3^2 \cdot 0,1^2\)
Calculons séparément :
\(3^2\) : \[ 3^2 = 3 \times 3 = 9. \]
\(0,1^2\) : \[ 0,1^2 = 0,1 \times 0,1 = 0,01. \]
Ensuite, multiplions : \[ 3^2 \cdot 0,1^2 = 9 \times 0,01 = 0,09. \]
Conclusion :
On retrouve bien \(0,09\) pour les deux
expressions.
Étape 1 : Calcul de \(70^2\)
Écrivons : \[ 70^2 = 70 \times 70. \]
En effectuant la multiplication : \[ 70 \times 70 = 4900. \]
Donc, \[ 70^2 = 4900. \]
Étape 2 : Calcul de \(7^2 \cdot 10^2\)
Calculons chacun des termes :
\(7^2\) : \[ 7^2 = 7 \times 7 = 49. \]
\(10^2\) : \[ 10^2 = 10 \times 10 = 100. \]
Puis : \[ 7^2 \cdot 10^2 = 49 \times 100 = 4900. \]
Conclusion :
Les deux expressions donnent le même résultat, soit \(4900\).
Étape 1 : Calcul de \(0,8^2\)
Nous avons : \[ 0,8^2 = 0,8 \times 0,8. \]
En réalisant la multiplication : \[ 0,8 \times 0,8 = 0,64. \]
Donc, \[ 0,8^2 = 0,64. \]
Étape 2 : Calcul de \(8^2 \cdot 0,1^2\)
Calculons chaque partie :
\(8^2\) : \[ 8^2 = 8 \times 8 = 64. \]
\(0,1^2\) : \[ 0,1^2 = 0,1 \times 0,1 = 0,01. \]
Ensuite, multiplions : \[ 8^2 \cdot 0,1^2 = 64 \times 0,01 = 0,64. \]
Conclusion :
Les deux calculs donnent \(0,64\).
Étape 1 : Calcul de \(20^4\)
Une méthode consiste à remarquer que : \[ 20 = 2 \times 10, \]
alors, \[ 20^4 = (2 \times 10)^4 = 2^4 \cdot 10^4. \]
Toutefois, pour vérifier numériquement, on peut aussi procéder de la
façon suivante :
On sait que : \[
20^2 = 400,
\] donc, \[
20^4 = (20^2)^2 = 400^2.
\]
Calculons \(400^2\) : \[ 400 \times 400 = 160\,000. \]
Ainsi, \[ 20^4 = 160\,000. \]
Étape 2 : Calcul de \(2^4 \cdot 10^4\)
Calculons séparément :
\(2^4\) : \[ 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16. \]
\(10^4\) : \[ 10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10\,000. \]
Multiplication : \[ 2^4 \cdot 10^4 = 16 \times 10\,000 = 160\,000. \]
Conclusion :
Les deux calculs donnent le même résultat, soit \(160\,000\).
Chaque paire d’expressions est équivalente grâce à la propriété des puissances qui permet de décomposer un nombre en produit de facteurs puis d’appliquer simultanément la puissance à chaque facteur.