Exercice 22

Exercice :

Calculer les expressions suivantes :

1. \(0,1^4\)
2. \(12^2\)
3. \(0,8^2\)
4. \(30^2\)
5. \(900^2\)
6. \(0,03^3\)
7. \(70^2\)
8. \(0,001^3\)

Réponse

Réponses : 1. 0,1^4 = 0,0001
2. 12^2 = 144
3. 0,8^2 = 0,64
4. 30^2 = 900
5. 900^2 = 810 000
6. 0,03^3 = 0,000027
7. 70^2 = 4900
8. 0,001^3 = 0,000000001

Corrigé détaillé

Nous allons calculer chacune des expressions en appliquant les opérations d’exposant. Voici la démarche détaillée pour chaque calcul :

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1. Calcul de \(0,1^4\)

On écrit : \[ 0,1^4 = (0,1) \times (0,1) \times (0,1) \times (0,1) \] Étapes :
- On peut aussi écrire \(0,1 = \frac{1}{10}\).
- Ainsi, \(\left(\frac{1}{10}\right)^4 = \frac{1^4}{10^4} = \frac{1}{10\,000}\).
- En écriture décimale, cela donne \(0,0001\).

Résultat : \[ 0,1^4 = 0,0001 \]

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2. Calcul de \(12^2\)

Ici, on élève 12 au carré : \[ 12^2 = 12 \times 12 \] Étapes :
- Effectuons la multiplication : \(12 \times 12 = 144\).

Résultat : \[ 12^2 = 144 \]

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3. Calcul de \(0,8^2\)

On calcule : \[ 0,8^2 = 0,8 \times 0,8 \] Étapes :
- Pour multiplier des nombres décimaux, on peut effectuer la multiplication comme si ce sont des entiers, puis placer la virgule.
- \(8 \times 8 = 64\). Comme \(0,8\) a une décimale, le produit aura deux décimales : \(0,64\).

Résultat : \[ 0,8^2 = 0,64 \]

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4. Calcul de \(30^2\)

Ici : \[ 30^2 = 30 \times 30 \] Étapes :
- \(30 \times 30 = 900\).

Résultat : \[ 30^2 = 900 \]

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5. Calcul de \(900^2\)

On a : \[ 900^2 = 900 \times 900 \] Étapes :
- Pour calculer \(900 \times 900\), on peut remarquer que \(900 = 9 \times 100\).
- Alors, \(900^2 = (9 \times 100)^2 = 9^2 \times 100^2 = 81 \times 10\,000 = 810\,000\).

Résultat : \[ 900^2 = 810\,000 \]

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6. Calcul de \(0,03^3\)

Nous avons : \[ 0,03^3 = 0,03 \times 0,03 \times 0,03 \] Étapes :
- Remarquons que \(0,03 = \frac{3}{100}\).
- Alors, \(\left(\frac{3}{100}\right)^3 = \frac{3^3}{100^3} = \frac{27}{1\,000\,000}\).
- En écriture décimale, \(\frac{27}{1\,000\,000} = 0,000027\).

Résultat : \[ 0,03^3 = 0,000027 \]

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7. Calcul de \(70^2\)

On élève 70 au carré : \[ 70^2 = 70 \times 70 \] Étapes :
- \(70 \times 70 = 4900\).

Résultat : \[ 70^2 = 4900 \]

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8. Calcul de \(0,001^3\)

Finalement, nous calculons : \[ 0,001^3 = 0,001 \times 0,001 \times 0,001 \] Étapes :
- On peut écrire \(0,001 = \frac{1}{1000}\).
- Ainsi, \(\left(\frac{1}{1000}\right)^3 = \frac{1}{1000^3} = \frac{1}{1\,000\,000\,000}\).
- En écriture décimale, cela signifie \(0,000000001\).

Résultat : \[ 0,001^3 = 0,000000001 \]

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Récapitulatif des résultats

1. \(0,1^4 = 0,0001\)
   
2. \(12^2 = 144\)
   
3. \(0,8^2 = 0,64\)
   
4. \(30^2 = 900\)
   
5. \(900^2 = 810\,000\)
   
6. \(0,03^3 = 0,000027\)
   
7. \(70^2 = 4900\)
   
8. \(0,001^3 = 0,000000001\)

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Chaque étape a été expliquée pour faciliter la compréhension des opérations réalisées. Cette méthode permet de vérifier qu’on a bien appliqué les règles de l’exposant et de la multiplication décimale.