Exercice 16

Exercice

Nous avons vu que l’opération \[ 1000 \times 10 = 10^3 \times 10^1 = 10^{3+1} = 10^4 = 10000. \] Procédez de la même manière pour déterminer le résultat des opérations suivantes :

1. \(100 \times 100\)

2. \(10000 \times 10\)

3. \(1000 \times 0,1\)

4. \(100 \times 0,1\)

5. \(0,1 \times 0,1\)

6. \(0,01 \times 10 \times 0,1\)

7. \(0,1^3\)

8. \(0,1 \div 10\)

9. \(10000 \div 0,1\)

10. \(10 \div 100\)

Vous trouverez ci-dessous un tableau récapitulatif de quelques puissances de dix avec leur écriture en notation décimale et leur nom :

Puissance	Nombre	Nom
\(\ldots\)
\(10^{24}\)		quadrillion
\(10^{21}\)		trillard
\(10^{18}\)	1000000000000000000	trillion
\(10^{15}\)	1000000000000000	billiard
\(10^{12}\)	1000000000000	billion
\(10^{9}\)	1000000000	milliard
\(10^{6}\)	1000000	million
\(10^{3}\)	1000	mille
\(10^{2}\)	100	cent
\(10^{1}\)	10	dix
\(10^{0}\)	1	un
\(10^{-1}\)	0,1	dixième
\(10^{-2}\)	0,01	centième
\(10^{-3}\)	0,001	millième
\(10^{-6}\)	0,000001	millionième
\(10^{-9}\)	0,000000001	milliardième
\(10^{-12}\)	0,000000000001	billionième
\(10^{-15}\)	0,000000000000001	billiardième
\(10^{-18}\)	0,000000000000000001	trillionième
\(10^{-21}\)		trilliardième
\(10^{-24}\)		quadrillionième
\(\ldots\)

Réponse

Réponses : a) 100 × 100 = 10⁴ = 10000
b) 10000 × 10 = 10⁵ = 100000
c) 1000 × 0,1 = 10² = 100
d) 100 × 0,1 = 10¹ = 10
e) 0,1 × 0,1 = 10⁻² = 0,01
f) 0,01 × 10 × 0,1 = 10⁻² = 0,01
g) (0,1)³ = 10⁻³ = 0,001
h) 0,1 ÷ 10 = 10⁻² = 0,01
i) 10000 ÷ 0,1 = 10⁵ = 100000
j) 10 ÷ 100 = 10⁻¹ = 0,1.

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée de l’exercice.

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Rappel de la méthode

On peut écrire certains nombres en les exprimant sous forme de puissances de 10. Par exemple :

• \(1000 = 10^3\)
• \(100 = 10^2\)
• \(10 = 10^1\)
• \(1 = 10^0\)
• \(0,1 = 10^{-1}\)
• \(0,01 = 10^{-2}\)

Lorsque l’on multiplie des puissances de 10, on additionne les exposants. Par exemple : \[ 10^a \times 10^b = 10^{a+b}. \] Pour une division, on soustrait les exposants : \[ \frac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}. \]

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Correction détaillée des opérations

a) \(100 \times 100\)

1. Écrivons chaque facteur en puissance de 10 :

   • \(100 = 10^2\)

2. Le produit devient : \[ 10^2 \times 10^2. \]

3. On additionne les exposants : \[ 10^2 \times 10^2 = 10^{2+2} = 10^4. \]

4. En écriture décimale : \[ 10^4 = 10000. \]

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b) \(10000 \times 10\)

1. Exprimons les nombres :

   • \(10000 = 10^4\)
   • \(10 = 10^1\)

2. Le produit s’écrit : \[ 10^4 \times 10^1. \]

3. Addition des exposants : \[ 10^4 \times 10^1 = 10^{4+1} = 10^5. \]

4. En écriture décimale : \[ 10^5 = 100000. \]

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c) \(1000 \times 0,1\)

1. Représentation en puissances de 10 :

   • \(1000 = 10^3\)
   • \(0,1 = 10^{-1}\)

2. On a : \[ 10^3 \times 10^{-1}. \]

3. Addition des exposants : \[ 10^3 \times 10^{-1} = 10^{3 + (-1)} = 10^2. \]

4. En écriture décimale : \[ 10^2 = 100. \]

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d) \(100 \times 0,1\)

1. Écrivons :

   • \(100 = 10^2\)
   • \(0,1 = 10^{-1}\)

2. Le produit se présente : \[ 10^2 \times 10^{-1}. \]

3. On additionne les exposants : \[ 10^2 \times 10^{-1} = 10^{2 + (-1)} = 10^1. \]

4. En écriture décimale : \[ 10^1 = 10. \]

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e) \(0,1 \times 0,1\)

1. Écriture en puissances de 10 :

   • \(0,1 = 10^{-1}\) pour les deux facteurs.

2. Le produit devient : \[ 10^{-1} \times 10^{-1}. \]

3. Addition des exposants : \[ 10^{-1} \times 10^{-1} = 10^{-1 + (-1)} = 10^{-2}. \]

4. En écriture décimale : \[ 10^{-2} = 0,01. \]

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f) \(0,01 \times 10 \times 0,1\)

1. Exprimons chaque nombre :

   • \(0,01 = 10^{-2}\)
   • \(10 = 10^1\)
   • \(0,1 = 10^{-1}\)

2. On écrit le produit : \[ 10^{-2} \times 10^1 \times 10^{-1}. \]

3. Addition des exposants : \[ -2 + 1 + (-1) = -2. \] Ainsi, \[ 10^{-2}. \]

4. En écriture décimale : \[ 10^{-2} = 0,01. \]

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g) \(0,1^3\)

1. Notons que \(0,1^3\) signifie \((0,1)^3\).

2. Exprimons \(0,1\) en puissance de 10 :

   • \(0,1 = 10^{-1}\)

3. L’expression devient : \[ (10^{-1})^3. \]

4. On multiplie l’exposant par 3 : \[ (10^{-1})^3 = 10^{-1 \times 3} = 10^{-3}. \]

5. En écriture décimale : \[ 10^{-3} = 0,001. \]

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h) \(0,1 \div 10\)

1. Exprimons en puissances de 10 :

   • \(0,1 = 10^{-1}\)
   • \(10 = 10^1\)

2. La division s’écrit : \[ \frac{10^{-1}}{10^1}. \]

3. On soustrait les exposants : \[ 10^{-1} \div 10^1 = 10^{-1-1} = 10^{-2}. \]

4. En écriture décimale : \[ 10^{-2} = 0,01. \]

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i) \(10000 \div 0,1\)

1. Exprimons les nombres :

   • \(10000 = 10^4\)
   • \(0,1 = 10^{-1}\)

2. La division devient : \[ \frac{10^4}{10^{-1}}. \]

3. On soustrait les exposants en faisant attention au signe : \[ 10^4 \div 10^{-1} = 10^{4 - (-1)} = 10^{4+1} = 10^5. \]

4. En écriture décimale : \[ 10^5 = 100000. \]

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j) \(10 \div 100\)

1. Écrivons en puissances de 10 :

   • \(10 = 10^1\)
   • \(100 = 10^2\)

2. La division s’écrit : \[ \frac{10^1}{10^2}. \]

3. Soustraction des exposants : \[ 10^1 \div 10^2 = 10^{1-2} = 10^{-1}. \]

4. En écriture décimale : \[ 10^{-1} = 0,1. \]

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Récapitulatif des résultats

• 1. \(100 \times 100 = 10^4 = 10000\)
• 2. \(10000 \times 10 = 10^5 = 100000\)
• 3. \(1000 \times 0,1 = 10^2 = 100\)
• 4. \(100 \times 0,1 = 10^1 = 10\)
• 5. \(0,1 \times 0,1 = 10^{-2} = 0,01\)
• 6. \(0,01 \times 10 \times 0,1 = 10^{-2} = 0,01\)
• 7. \((0,1)^3 = 10^{-3} = 0,001\)
• 8. \(0,1 \div 10 = 10^{-2} = 0,01\)
• 1. \(10000 \div 0,1 = 10^5 = 100000\)
• 10. \(10 \div 100 = 10^{-1} = 0,1\)

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Chaque étape consiste à réécrire les nombres en puissances de 10, puis à appliquer les règles de multiplication ou de division en additionnant ou soustrayant les exposants. Cette méthode permet de simplifier facilement les calculs!

N’hésitez pas à revoir ces étapes pour bien comprendre la technique.