Complétez chacune des égalités suivantes en inscrivant le symbole ou le nombre manquant :
\(4 \quad ? \quad = 64\)
\(9^{\, ?} \quad 9 = 81\)
\(2 \times 3 \quad ? \quad = 36\)
\(-7 \quad ? \quad = 1\)
\(3 \times 3^{4} \quad ? \quad = 3^{6}\)
\(3^{3} - 3 \quad ? \quad = 3^{2} + 15\)
\(\dfrac{7^{3}}{7} \quad ? \quad = 49\)
\(3 \quad ? \quad 3 = 81\)
\(5^{6} \quad ? \quad 5 = 5^{5}\)
\(16 \quad ? \quad = 2^{8}\)
Réponses corrigées :
Voici la correction détaillée de chaque égalité.
Étape 1 : On cherche un nombre et/ou un opérateur à
insérer après le 4 afin d’obtenir 64.
On reconnaît que
\[
4 \times 16 = 64.
\]
Conclusion : On complète l’égalité par le symbole
« × » suivi du nombre 16, c’est-à-dire
\[
4 \times 16 = 64.
\]
Étape 1 : On peut imaginer que l’expression complète
est
\[
9^{x} \times 9 = 81,
\] où \(x\) est le nombre
manquant.
Étape 2 : On écrit 81 sous forme de puissance de 9.
On sait que
\[
81 = 9^2.
\]
Étape 3 : Remarquons que
\[
9^{x} \times 9 = 9^{x} \times 9^1 = 9^{x+1}.
\] Pour que \(9^{x+1} = 9^2\),
il faut que \(x+1=2\), soit \(x=1\).
Conclusion : On remplace le « ? » par le nombre 1 et on ajoute le symbole « × ». L’égalité s’écrit alors : \[ 9^1 \times 9 = 81. \]
Étape 1 : Calculez \(2
\times 3\) :
\[
2 \times 3 = 6.
\]
Étape 2 : Pour obtenir 36 à partir de 6, on cherche
l’opération :
\[
6 \times 6 = 36.
\]
Conclusion : En ajoutant le symbole « × » suivi du
nombre 6, on écrit :
\[
2 \times 3 \times 6 = 36.
\]
Étape 1 : Cherchons quel nombre ajouté à \(-7\) donne 1. On a :
\[
-7 + 8 = 1.
\]
Conclusion : Le symbole manquant est « + » puis le
nombre 8, ce qui donne :
\[
-7 + 8 = 1.
\]
Étape 1 : Exprimer le produit en utilisant la
propriété des puissances. On écrit
\[
3 \times 3^4 = 3^1 \times 3^4 = 3^{1+4} = 3^5.
\]
Étape 2 : Pour passer de \(3^5\) à \(3^6\), il faut multiplier par 3,
puisque
\[
3^5 \times 3 = 3^{5+1} = 3^6.
\]
Conclusion : On complète donc l’égalité par « × 3 »,
ce qui donne :
\[
3 \times 3^4 \times 3 = 3^6.
\]
Étape 1 : Calculer chacune des expressions :
- Gauche : \(3^3 - 3 = 27 - 3 =
24\).
- Droite : \(3^2 + 15 = 9 + 15 =
24\).
Étape 2 : Puisque les deux côtés sont égaux, l’opérateur manquant est le signe « = ».
Conclusion : L’égalité complète est : \[ 3^3 - 3 = 3^2 + 15. \]
Étape 1 : Utilisons la propriété des puissances pour
simplifier :
\[
\frac{7^3}{7} = \frac{7^3}{7^1} = 7^{3-1} = 7^2.
\]
Étape 2 : Comme
\[
7^2 = 49,
\] l’égalité devient
\[
7^2 = 49.
\]
Conclusion : Le symbole manquant est « = »,
donc
\[
\frac{7^3}{7} = 49.
\]
Cette égalité ne se vérifie pas avec une opération élémentaire entre
les deux seuls nombres 3. En effet,
- \(3 + 3 = 6\)
- \(3 \times 3 = 9\)
- \(3 - 3 = 0\)
- \(3 \div 3 = 1\)
- \(3^3 = 27\)
Cependant, il existe une manière astucieuse d’utiliser les deux 3
pour obtenir 81 en modifiant leur écriture en puissances. On sait
que
\[
3^2 = 9 \quad \text{et} \quad 9 \times 9 = 81.
\] Ainsi, en élevant chacun des 3 au carré et en les multipliant,
on obtient : \[
3^2 \times 3^2 = 9 \times 9 = 81.
\]
Conclusion : On complète l’égalité en inscrivant les exposants 2 et le signe « × ». Ainsi, l’égalité complète s’écrit : \[ 3^2 \times 3^2 = 81. \]
Étape 1 : On cherche l’opération permettant
d’obtenir \(5^5\) à partir de \(5^6\) et 5.
Utilisons la règle sur la division des puissances :
\[
\frac{5^6}{5} = \frac{5^6}{5^1} = 5^{6-1} = 5^5.
\]
Conclusion : Le symbole manquant est la division
« ÷ » (ou le signe « : »). L’égalité complète est donc :
\[
5^6 \div 5 = 5^5.
\]
Étape 1 : Exprimer 16 en puissance de 2 :
\[
16 = 2^4.
\]
Étape 2 : Pour obtenir \(2^8\) à partir de \(2^4\), on peut élever 16 au carré,
car
\[
16^2 = (2^4)^2 = 2^{4 \times 2} = 2^8.
\]
Conclusion : Le symbole manquant est l’exposant 2.
Ainsi, l’égalité complète s’écrit :
\[
16^2 = 2^8.
\]
Ces corrections pas à pas montrent comment compléter chaque égalité en utilisant des propriétés des opérations et des puissances.