Exercice 14

Calcule ou complète les expressions suivantes :

1. \(\frac{3^4}{2} =\)

2. \(\left(\frac{3}{2}\right)^4 =\)

3. \(10^5 = 10^3 +\)

4. \(10^5 \cdot 10 = 10^8\)

5. \((-9)^2 =\)

6. \(-8^2 =\)

7. \((-4)^3 =\)

8. \(-4^3 =\)

Réponse

Réponses courtes :
a) 81/2 ou 40,5
b) 81/16
c) 10⁵ = 10³ + 99 000
d) 10⁵ × 10 = 10⁶
e) (–9)² = 81
f) –8² = –64
g) (–4)³ = –64
h) –4³ = –64

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression, avec des explications étape par étape.

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a) \(\frac{3^4}{2}\)

1. Calcul de \(3^4\) :
   On élève 3 à la puissance 4 :
   \[ 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81. \]

2. Division par 2 :
   On divise ensuite le résultat par 2 :
   \[ \frac{3^4}{2} = \frac{81}{2}. \]

   Cette expression peut laisser la fraction ou, si on le souhaite, être convertie en nombre décimal :
   \[ \frac{81}{2} = 40,5. \]

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b) \(\left(\frac{3}{2}\right)^4\)

1. Élever une fraction à une puissance :
   La propriété \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\) permet d’élever séparément le numérateur et le dénominateur à la puissance 4.

2. Calcul de \(3^4\) et \(2^4\) :
   \[ 3^4 = 81 \quad \text{et} \quad 2^4 = 16. \]

3. Résultat final :
   \[ \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{81}{16}. \]

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c) \(10^5 = 10^3 +\ ?\)

1. Calculer \(10^5\) et \(10^3\) :
   \[ 10^5 = 100\,000 \quad \text{et} \quad 10^3 = 1\,000. \]

2. Compléter l’expression :
   Pour que l’égalité soit vraie, il faut ajouter la différence entre \(10^5\) et \(10^3\).
   \[ 10^5 - 10^3 = 100\,000 - 1\,000 = 99\,000. \] Ainsi, on peut écrire :
   \[ 10^5 = 10^3 + 99\,000. \]

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d) \(10^5 \cdot 10 = 10^8\)

1. Application de la propriété des puissances :
   On utilise la règle \(10^a \cdot 10^b = 10^{a+b}\).
   \[ 10^5 \cdot 10 = 10^5 \cdot 10^1 = 10^{5+1} = 10^6. \]

2. Conclusion :
   L’expression donnée \(10^5 \cdot 10 = 10^8\) est incorrecte. La bonne égalité est :
   \[ 10^5 \cdot 10 = 10^6. \]

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e) \((-9)^2\)

1. Calcul de \((-9)^2\) :
   Ici, la parenthèse indique que le négatif fait partie de la base. Ainsi,
   \[ (-9)^2 = (-9) \times (-9). \]

2. Règle du signe :
   Le produit de deux nombres négatifs est positif.
   \[ (-9) \times (-9) = 81. \]

3. Résultat :
   \[ (-9)^2 = 81. \]

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f) \(-8^2\)

1. Priorité des opérations :
   Sans parenthèses, l’exposant s’applique uniquement à 8, et le signe négatif est appliqué après le calcul de \(8^2\). Autrement dit,
   \[ -8^2 = -(8^2). \]

2. Calcul de \(8^2\) :
   \[ 8^2 = 64. \]

3. Application du signe négatif :
   \[ -8^2 = -64. \]

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g) \((-4)^3\)

1. Calcul de \((-4)^3\) :
   Ici, la parenthèse indique que le négatif fait partie de la base.
   \[ (-4)^3 = (-4) \times (-4) \times (-4). \]

2. Produit successif :

   • D’abord, \((-4) \times (-4) = 16\) (deux négatifs donnent un positif).
     
   • Ensuite, \(16 \times (-4) = -64\).

3. Résultat :
   \[ (-4)^3 = -64. \]

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h) \(-4^3\)

1. Priorité des opérations :
   Sans parenthèses, l’exposant s’applique uniquement à 4. Ainsi,
   \[ -4^3 = -(4^3). \]

2. Calcul de \(4^3\) :
   \[ 4^3 = 64. \]

3. Application du signe négatif :
   \[ -4^3 = -64. \]

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Résumé des réponses

• 1. \(\frac{3^4}{2} = \frac{81}{2}\) ou \(40,5\)
• 2. \(\left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{81}{16}\)
• 3. \(10^5 = 10^3 + 99\,000\)
• 4. \(10^5 \cdot 10 = 10^6\)
• 5. \((-9)^2 = 81\)
• 6. \(-8^2 = -64\)
• 7. \((-4)^3 = -64\)
• 8. \(-4^3 = -64\)

Chaque étape a été réalisée selon les propriétés des exposants et l’ordre des opérations. Vous pouvez ainsi vérifier vos calculs et comprendre la logique derrière chaque manipulation.