Exercice
Pour chacune des égalités suivantes, déterminez si elle est correcte. Corrigez celles qui ne le sont pas.
\[2^5 \cdot 2^3 \stackrel{?}{=} 2^4 \cdot 2^4\]
\[4^3 \cdot 4^2 \stackrel{?}{=} 4^2 \cdot 2^4\]
\[7^2 \cdot 7^4 \stackrel{?}{=} (7^3)^2\]
\[2^3 \cdot 2^3 \stackrel{?}{=} 8^2\]
\[(5^2)^3 \quad \stackrel{?}{=} 5^2 \cdot 5^3\]
\[3^2 + 3^3 \stackrel{?}{=} 3^5\]
\[16^2 \cdot 16 \stackrel{?}{=} 2^{12}\]
\[\frac{8^3}{8} \stackrel{?}{=} 2^3\]
\[625^2 \stackrel{?}{=} 5^8\]
\[6^2 + 2^2 \stackrel{?}{=} 8^2\]
Voici la réponse très courte récapitulative :
Voici la correction détaillée de chaque égalité, avec les explications pas à pas :
Étape 1 : Sur le côté gauche, on utilise la
propriété des puissances (multiplication de puissances de même base)
:
\[
2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8.
\]
Étape 2 : Sur le côté droit, de même :
\[
2^4 \cdot 2^4 = 2^{4+4} = 2^8.
\]
Conclusion :
Les deux côtés donnent \(2^8\), donc
l’égalité est correcte.
Étape 1 : À gauche, on applique la propriété des
puissances :
\[
4^3 \cdot 4^2 = 4^{3+2} = 4^5.
\]
Étape 2 : Pour comparer avec le côté droit,
exprimons toutes les puissances avec la même base.
Rappel : \(4 = 2^2\). Ainsi,
- \(4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}\),
- \(4^2 = (2^2)^2 = 2^4\).
Le côté droit devient :
\[
4^2 \cdot 2^4 = 2^4 \cdot 2^4 = 2^{4+4} = 2^8.
\]
Étape 3 : On compare \(2^{10}\) et \(2^8\). Comme les exposants sont
différents,
\[
2^{10} \neq 2^{8}.
\]
Correction :
Pour obtenir une égalité avec le membre de droite, il faut que :
\[ 4^3 \cdot 4^2 = 4^2 \cdot 2^6, \]
puisque \(4^2 \cdot 2^6 = 2^4 \cdot 2^6 =
2^{10}\).
Ainsi, la correction est :
\[
\boxed{4^3 \cdot 4^2 = 4^2 \cdot 2^6.}
\]
Étape 1 : Côté gauche, en utilisant la règle de
multiplication des puissances :
\[
7^2 \cdot 7^4 = 7^{2+4} = 7^6.
\]
Étape 2 : Côté droit, on utilise la propriété des
puissances d’une puissance :
\[
(7^3)^2 = 7^{3\cdot2} = 7^6.
\]
Conclusion :
Les deux côtés sont égaux à \(7^6\),
donc l’égalité est correcte.
Étape 1 : Sur le côté gauche, on additionne les
exposants :
\[
2^3 \cdot 2^3 = 2^{3+3} = 2^6.
\]
Étape 2 : Exprimons \(8^2\) avec la base 2. Comme \(8 = 2^3\), alors
\[
8^2 = (2^3)^2 = 2^{3\cdot2} = 2^6.
\]
Conclusion :
Les deux côtés donnent \(2^6\);
l’égalité est donc correcte.
Étape 1 : Côté gauche, une puissance d’une puissance
:
\[
(5^2)^3 = 5^{2\cdot3} = 5^6.
\]
Étape 2 : Côté droit, multiplication de puissances
de même base :
\[
5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5.
\]
Étape 3 : Comme \(5^6 \neq 5^5\), l’égalité n’est pas correcte.
Correction :
Pour que l’égalité soit vraie, il faut que l’addition des exposants du
membre de droite donne 6. Par exemple, on peut écrire :
\[
5^2 \cdot 5^4 = 5^{2+4} = 5^6.
\] La correction est donc :
\[
\boxed{(5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^4.}
\]
Étape 1 : Calculez les puissances : \[ 3^2 = 9 \quad \text{et} \quad 3^3 = 27. \] La somme est : \[ 9 + 27 = 36. \]
Étape 2 : Calculons \(3^5\) : \[ 3^5 = 243. \]
Étape 3 : On a donc \(36 \neq 243\). L’égalité ne tient pas.
Explication et Correction :
La confusion vient peut-être du fait que la règle d’addition ne permet
pas de combiner des puissances comme dans la multiplication (qui
donnerait \(3^2 \cdot 3^3 =
3^5\)).
Si on voulait une égalité vraie en lien avec les puissances, il faudrait
écrire : \[
3^2 \cdot 3^3 = 3^5.
\] Ainsi, la correction est :
\[
\boxed{3^2 \cdot 3^3 = 3^5.}
\]
Étape 1 : Combiner les puissances avec la même base : \[ 16^2 \cdot 16 = 16^{2+1} = 16^3. \]
Étape 2 : Exprimons 16 en fonction de 2. Comme \(16 = 2^4\), alors : \[ 16^3 = (2^4)^3 = 2^{4\cdot3} = 2^{12}. \]
Conclusion :
L’égalité est correcte.
Étape 1 : Côté gauche, on utilise la division de puissances de même base : \[ \frac{8^3}{8} = \frac{8^3}{8^1} = 8^{3-1} = 8^2. \]
Étape 2 : Exprimons \(8^2\) en base 2. Étant donné que \(8 = 2^3\), alors : \[ 8^2 = (2^3)^2 = 2^{3\cdot2} = 2^6. \]
Étape 3 : D’un côté, on a \(2^6\) et de l’autre \(2^3\).
Or, \(2^6 \neq 2^3\).
Correction :
Pour que l’égalité soit correcte, il faut écrire :
\[
\frac{8^3}{8} = 8^2 \quad \text{ou bien} \quad \frac{8^3}{8} = 2^6.
\] La correction est donc :
\[
\boxed{\frac{8^3}{8} = 8^2.}
\]
Étape 1 : Rappelons que \(625 = 5^4\).
Alors, on peut réécrire le membre de gauche : \[
625^2 = (5^4)^2 = 5^{4\cdot2} = 5^8.
\]
Conclusion :
Les deux côtés sont égaux, l’égalité est correcte.
Étape 1 : Calculons les termes : \[ 6^2 = 36 \quad \text{et} \quad 2^2 = 4. \] La somme est : \[ 36 + 4 = 40. \]
Étape 2 : On a : \[ 8^2 = 64. \]
Étape 3 : Comme \(40 \neq 64\), l’égalité est incorrecte.
Explication et Correction :
La somme des carrés de deux nombres n’est généralement pas égale au
carré d’un autre nombre, sauf cas particuliers.
Cependant, on peut remarquer que le développement du carré d’une somme
donne : \[
(6+2)^2 = 6^2 + 2^2 + 2\cdot6\cdot2.
\] Calculons-le : \[
(6+2)^2 = 8^2 = 64,
\] et
\[
6^2 + 2^2 + 2\cdot6\cdot2 = 36 + 4 + 24 = 64.
\]
Cela montre que l’égalité correcte est : \[ \boxed{6^2 + 2^2 + 2\cdot6\cdot2 = 8^2.} \]
Voilà, nous avons examiné chaque égalité et apporté les corrections nécessaires ainsi que les explications détaillées pour chacune d’elles.