Exercice 11

Exercice
Complétez les égalités lorsque c’est possible.

1. \(3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3\)
   
2. \(64 = 4\)
   
3. \(5^4 = 5 \quad 5 \quad 5 \quad 5\)
   
4. \(7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7\)
   
5. \(1 = 111\)
   
6. \(0 = 4\)

Réponse

Voici le résumé très court des égalités corrigées :

1. 3 × 3 × 3 × 3 = 3^4 = 81
   
2. 64 = 4^3
   
3. 5^4 = 5 × 5 × 5 × 5
   
4. 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 × 5 = 35
   
5. 1 = 1 × 1 × 1
   
6. 0 = 0 + 0 + 0 + 0

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée de chacune des égalités.

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a) \(3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3\quad?\)

1. On remarque que le même nombre (ici 3) est multiplié plusieurs fois.
2. Par définition, multiplier un nombre par lui-même plusieurs fois s’écrit en utilisant une puissance. Ainsi,
   \[ 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4. \]
3. On peut même calculer \(3^4\) :
   \[ 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 = 81. \]

Correction complète :
\[ 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81. \]

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b) \(64 = 4\quad?\)

1. Ici, on souhaite exprimer 64 comme une puissance de 4.
2. On cherche quel exposant de 4 donne 64. Calculons :
   \[ 4^2 = 4 \times 4 = 16 \quad\text{et}\quad 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64. \]
3. Ainsi, on écrit :
   \[ 64 = 4^3. \]

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c) \(5^4 = 5\quad 5\quad 5\quad 5\)

1. L’expression \(5^4\) signifie « 5 multiplié par lui-même 4 fois ».
2. En développant la puissance, on obtient :
   \[ 5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5. \]

Correction complète :
\[ 5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5. \]

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d) \(7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7\quad?\)

1. On additionne le même nombre, ici 7, plusieurs fois.
2. Une addition répétée peut être remplacée par une multiplication. Puisqu’il y a 5 termes, on a :
   \[ 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 \times 5. \]
3. En calculant, \(7 \times 5 = 35\).

Correction complète :
\[ 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 \times 5 = 35. \]

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e) \(1 = 111\quad?\)

1. On voit ici le chiffre 1 répété trois fois. Pour conserver le même type de formulation que dans les exercices précédents (multiplication répétée), on peut imaginer écrire 1 comme le produit de plusieurs 1.
2. En effet, le produit de trois fois 1 donne :
   \[ 1 \times 1 \times 1 = 1. \]
3. Ainsi, on peut compléter l’égalité en ajoutant les signes de multiplication entre les trois 1.

Correction complète :
\[ 1 = 1 \times 1 \times 1. \]

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f) \(0 = 4\quad?\)

1. Ici, le 0 est présenté isolé à gauche, et le chiffre 4 apparaît à droite.
2. Pour obtenir 0 à l’aide d’une opération impliquant le chiffre 0, on peut utiliser l’addition répétée. Par exemple, la somme de quatre fois 0 donne :
   \[ 0 + 0 + 0 + 0 = 0. \]
3. On peut ainsi compléter l’égalité en utilisant l’addition qui transforme la répétition en un produit d’addition.

Correction complète :
\[ 0 = 0 + 0 + 0 + 0. \]

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Pour récapituler, voici les égalités complétées :

• a) \(3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81\).
• b) \(64 = 4^3\).
• c) \(5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5\).
• d) \(7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 \times 5 = 35\).
• e) \(1 = 1 \times 1 \times 1\).
• f) \(0 = 0 + 0 + 0 + 0\).

Chaque égalité est ainsi reformulée en utilisant soit une écriture en puissance (a, b, c), soit en transformant une addition répétée en multiplication (d), ou en insérant les signes opératoires pour montrer qu’une opération sur des mêmes nombres revient au même résultat (e et f).