Exercice : Puissances de 10 et déclin de la population bactérienne
Dans un bocal de laboratoire, on compte environ \(10^8\) bactéries, et chacune d’elles interagit avec environ \(10^3\) autres bactéries via des échanges nutritionnels.
Exprime le nombre total de bactéries dans le bocal sous forme d’une puissance de 10.
Exprime le nombre total d’interactions entre bactéries en utilisant une puissance de 10.
Après l’ajout d’un antiseptique, la population bactérienne diminue d’environ 1 000 bactéries par jour. Sachant qu’une année comporte 365 jours, combien d’années faudrait-il pour que la réserve initiale de bactéries disparaisse complètement ?
Voici la correction détaillée de l’exercice.
Nous allons résoudre les trois questions.
L’exercice nous indique directement que le nombre de bactéries compte
environ
\[
10^8 \quad \text{bactéries.}
\]
La réponse est donc : \(10^8\)
bactéries.
Chaque bactérie interagit avec environ \(10^3\) autres bactéries. Pour trouver le nombre total d’interactions, on peut multiplier le nombre de bactéries par le nombre d’interactions par bactérie :
\[ \text{Nombre total d'interactions} = 10^8 \times 10^3. \]
On utilise la propriété des puissances (pour multiplier, on additionne les exposants) :
\[ 10^8 \times 10^3 = 10^{8+3} = 10^{11}. \]
La réponse est donc : \(10^{11}\) interactions.
On nous indique que la population diminue de 1 000 bactéries par jour. Pour connaître la diminution annuelle, on effectue le calcul suivant :
\[ \text{Diminution par année} = 1\,000 \times 365 = 365\,000. \]
Soit en notation scientifique :
\[ 365\,000 = 3,65 \times 10^5. \]
Il faut savoir en combien d’années la population initiale de \(10^8\) bactéries sera complètement éliminée. Pour cela, on divise le nombre total initial par la diminution annuelle :
\[ \text{Nombre d'années} = \frac{10^8}{365\,000}. \]
En décomposant les valeurs en notation scientifique, on a :
\[ 10^8 = 1 \times 10^8, \quad 365\,000 \approx 3,65 \times 10^5. \]
La division donne :
\[ \frac{1 \times 10^8}{3,65 \times 10^5} = \frac{1}{3,65} \times 10^{8-5} = \frac{1}{3,65} \times 10^3. \]
Calculons \(\frac{1}{3,65}\) :
\[ \frac{1}{3,65} \approx 0,274. \]
Ainsi :
\[ 0,274 \times 10^3 = 274. \]
Il faut environ 274 années pour que la réserve initiale disparaisse.
Cette démarche permet de comprendre comment utiliser les propriétés des puissances de 10 ainsi que la méthode de conversion de la diminution quotidienne en diminution annuelle pour résoudre le problème.