Exercice 8

Remplacez les lettres par des nombres de manière à ce que chacune des égalités suivantes soit vraie :

  1. \(2^4 \cdot 2^x = 128\)
  2. \(x^3 = 27\)
  3. \(7^2 \cdot 7^x = 343\)
  4. \(5^6 \cdot 5^x = 5^4\)
  5. \(x^2 \cdot x^3 = 1024\)
  6. \(a^y = 125\)
  7. \(\displaystyle \frac{6^5}{6^p} = 6^3\)
  8. \(\displaystyle \frac{b^4}{b^2} = 16\)
  9. \(2^3 \cdot 2^x = 2^5\)
  10. \(\displaystyle \frac{7^4}{7^2} = 7^k\)
  11. \(\left(4^x\right)^3 = 4096\)
  12. \(\left(5^2 \cdot 5^3\right)^x = 5^5\)
  13. \((-2)^x = -32\)
  14. \(\displaystyle \frac{(-3)^4}{(-3)^4} = x\)

Réponse

  1. x = 3
  2. x = 3
  3. x = 1
  4. x = -2
  5. x = 4
  6. a = 5 et y = 3
  7. p = 2
  8. b = 4
  9. x = 2
  10. k = 2
  11. x = 2
  12. x = 1
  13. x = 5
  14. x = 1

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée en plusieurs parties :

a) \(2^4 \cdot 2^x = 128\)
  1. On applique la propriété des puissances qui dit que \(2^4 \cdot 2^x = 2^{4+x}\).
  2. On a donc l’équation : \[ 2^{4+x} = 128 \]
  3. On reconnaît que \(128 = 2^7\) car \(2^7 = 128\).
  4. Ainsi, l’égalité devient : \[ 2^{4+x} = 2^7 \]
  5. D’après l’égalité des exposants, on a : \[ 4 + x = 7 \]
  6. On résout : \[ x = 7 - 4 = 3 \]
b) \(x^3 = 27\)
  1. Pour trouver \(x\), on cherche le nombre qui, élevé à la puissance 3, donne 27.
  2. On sait que \(3^3 = 27\).
  3. Par conséquent : \[ x = 3 \]
c) \(7^2 \cdot 7^x = 343\)
  1. On utilise la propriété des puissances : \(7^2 \cdot 7^x = 7^{2+x}\).
  2. L’équation devient : \[ 7^{2+x} = 343 \]
  3. On note que \(343 = 7^3\) car \(7^3 = 343\).
  4. Ainsi : \[ 7^{2+x} = 7^3 \quad \Rightarrow \quad 2+x = 3 \]
  5. On résout : \[ x = 3 - 2 = 1 \]
d) \(5^6 \cdot 5^x = 5^4\)
  1. En appliquant la propriété des puissances, on a : \[ 5^6 \cdot 5^x = 5^{6+x} \]
  2. Comme le résultat est \(5^4\), on écrit : \[ 5^{6+x} = 5^4 \]
  3. Cela donne : \[ 6+x = 4 \]
  4. On résout : \[ x = 4 - 6 = -2 \]
e) \(x^2 \cdot x^3 = 1024\)
  1. La propriété des exposants indique que : \[ x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5 \]
  2. L’équation devient donc : \[ x^5 = 1024 \]
  3. On remarque que \(4^5 = 1024\).
  4. Par conséquent : \[ x = 4 \]
f) \(a^y = 125\)
  1. On reconnaît que \(125 = 5^3\).
  2. Pour que l’égalité soit vraie, on peut choisir : \[ a = 5 \quad \text{et} \quad y = 3 \]
  3. En effet, \(5^3 = 125\).
g) \(\displaystyle \frac{6^5}{6^p} = 6^3\)
  1. La règle de division pour les puissances de même base est : \[ \frac{6^5}{6^p} = 6^{5-p} \]
  2. On a : \[ 6^{5-p} = 6^3 \]
  3. Par égalité des exposants : \[ 5-p = 3 \]
  4. On résout : \[ p = 5 - 3 = 2 \]
h) \(\displaystyle \frac{b^4}{b^2} = 16\)
  1. On simplifie en utilisant la propriété : \[ \frac{b^4}{b^2} = b^{4-2} = b^2 \]
  2. L’équation devient : \[ b^2 = 16 \]
  3. La solution positive est : \[ b = 4 \] (On choisit la valeur positive pour simplifier.)
i) \(2^3 \cdot 2^x = 2^5\)
  1. On combine les puissances : \[ 2^3 \cdot 2^x = 2^{3+x} \]
  2. On a alors : \[ 2^{3+x} = 2^5 \]
  3. Donc : \[ 3+x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]
j) \(\displaystyle \frac{7^4}{7^2} = 7^k\)
  1. On applique la règle de division : \[ \frac{7^4}{7^2} = 7^{4-2} = 7^2 \]
  2. Par comparaison : \[ 7^2 = 7^k \quad \Rightarrow \quad k = 2 \]
k) \(\left(4^x\right)^3 = 4096\)
  1. On utilise la propriété \(\left(a^b\right)^c = a^{b \cdot c}\) : \[ \left(4^x\right)^3 = 4^{3x} \]
  2. L’équation devient : \[ 4^{3x} = 4096 \]
  3. On remarque que \(4096 = 4^6\) (puisque \(4^5 = 1024\) et \(4^6 = 4096\)).
  4. Ainsi : \[ 4^{3x} = 4^6 \quad \Rightarrow \quad 3x = 6 \]
  5. On déduit : \[ x = \frac{6}{3} = 2 \]
l) \(\left(5^2 \cdot 5^3\right)^x = 5^5\)
  1. À l’intérieur de la parenthèse, on combine les puissances : \[ 5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5 \]
  2. L’équation devient : \[ \left(5^5\right)^x = 5^5 \]
  3. En utilisant la propriété \(\left(a^b\right)^c = a^{b \cdot c}\), on obtient : \[ 5^{5x} = 5^5 \]
  4. Par égalité des exposants : \[ 5x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \]
m) \((-2)^x = -32\)
  1. On cherche un exposant tel que \((-2)^x\) donne \(-32\).
  2. En testant quelques valeurs :
    • \((-2)^1 = -2\)
    • \((-2)^3 = -8\)
    • \((-2)^5 = -32\)
  3. Ainsi, on trouve : \[ x = 5 \]
n) \(\displaystyle \frac{(-3)^4}{(-3)^4} = x\)
  1. Pour tout nombre non nul, le quotient d’un nombre par lui-même est égal à 1.
  2. Donc : \[ \frac{(-3)^4}{(-3)^4} = 1 \]
  3. Ainsi, on a : \[ x = 1 \]
Résumé des réponses

Chaque étape a été détaillée pour aider à comprendre le raisonnement menant aux solutions.

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