Ordonnez les nombres de chaque ligne par ordre croissant.
\[ 9^2,\quad 3^4,\quad (3^2)^3,\quad 3^2 \cdot 3^3,\quad 3^{(3^2)} \]
\[ 5^3 \cdot 5^7,\quad 5^5 \cdot 5^5,\quad (5^2)^5,\quad 25^5,\quad 5^{(8+2)} \]
\[ (2\cdot 5)^4,\quad 10^2 + 10^2,\quad (10^2)^3,\quad 10^{7} - 10^1 \]
\[ 8^4 \cdot 3^4,\quad \frac{8^8}{8^3},\quad 8^4 \cdot 8^4,\quad 24^4,\quad 8^7 \]
Voici la correction détaillée de l’exercice :
Ordonnez les nombres de chaque ligne par ordre croissant.
Les quatre parties de l’exercice consisteront chacune à comparer plusieurs expressions. Pour cela, nous allons simplifier chaque nombre en écrivant, lorsque c’est possible, une puissance avec la même base ou en calculant leur valeur numérique approximative.
Les nombres sont :
\[ 9^2,\quad 3^4,\quad (3^2)^3,\quad 3^2 \cdot 3^3,\quad 3^{(3^2)} \]
Étape 1 : Simplifier chaque expression
\(9^2\) :
On rappelle que \(9 = 3^2\). Ainsi,
\[
9^2 = (3^2)^2 = 3^{2 \times 2} = 3^4.
\]
\(3^4\) :
Cette expression est déjà sous forme de puissance de 3.
\((3^2)^3\)
:
En appliquant la règle \((a^b)^c = a^{b \cdot
c}\), on obtient : \[
(3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6.
\]
\(3^2 \cdot 3^3\)
:
En utilisant la propriété \(a^m \cdot a^n =
a^{m+n}\), on a : \[
3^2 \cdot 3^3 = 3^{2+3} = 3^5.
\]
\(3^{(3^2)}\)
:
D’abord, calculons l’exposant : \(3^2 =
9\). On a donc : \[
3^{(3^2)} = 3^9.
\]
Étape 2 : Comparer et ordonner
Nous avons désormais les puissances suivantes de 3 : - \(9^2 = 3^4\) - \(3^4\) - \(3^2 \cdot 3^3 = 3^5\) - \((3^2)^3 = 3^6\) - \(3^{(3^2)} = 3^9\)
On connaît la relation suivante :
Si \(a > 1\) et \(m < n\) alors \(a^m < a^n\).
Donc, en comparant les exposants nous obtenons :
\[ 3^4 = 3^4 \quad (81) \quad < \quad 3^5 \quad (243) \quad < \quad 3^6 \quad (729) \quad < \quad 3^9 \quad (19683). \]
Ordre croissant de la partie a) :
Les deux premiers nombres sont égaux. On peut donc écrire :
\[ \boxed{9^2,\; 3^4\; (=9^2),\; 3^2\cdot3^3,\; (3^2)^3,\; 3^{(3^2)}}. \]
Les nombres sont :
\[ 5^3 \cdot 5^7,\quad 5^5 \cdot 5^5,\quad (5^2)^5,\quad 25^5,\quad 5^{(8+2)} \]
Étape 1 : Simplifier chaque expression
\(5^3 \cdot 5^7\)
:
En utilisant \(a^m \cdot a^n =
a^{m+n}\), \[
5^3 \cdot 5^7 = 5^{3+7} = 5^{10}.
\]
\(5^5 \cdot 5^5\)
:
De même, \[
5^5 \cdot 5^5 = 5^{5+5} = 5^{10}.
\]
\((5^2)^5\)
:
Par la règle \((a^b)^c = a^{b \cdot
c}\), \[
(5^2)^5 = 5^{2 \times 5} = 5^{10}.
\]
\(25^5\)
:
Comme \(25 = 5^2\), on obtient : \[
25^5 = (5^2)^5 = 5^{2 \times 5} = 5^{10}.
\]
\(5^{(8+2)}\)
:
Calculons l’exposant : \[
8+2 = 10 \quad \Rightarrow \quad 5^{10}.
\]
Étape 2 : Comparer
On constate que toutes les expressions se simplifient en \(5^{10}\).
Elles sont donc toutes égales.
Ordre croissant de la partie b) :
\[ \boxed{5^3 \cdot 5^7,\; 5^5 \cdot 5^5,\; (5^2)^5,\; 25^5,\; 5^{(8+2)} \quad \text{(tous égaux à } 5^{10}\text{)}.} \]
Les nombres sont :
\[ (2\cdot 5)^4,\quad 10^2 + 10^2,\quad (10^2)^3,\quad 10^{7} - 10^1. \]
Étape 1 : Simplifier chaque expression
\((2\cdot 5)^4\)
:
Comme \(2 \cdot 5 = 10\), \[
(2\cdot 5)^4 = 10^4 = 10000.
\]
\(10^2 + 10^2\)
:
On effectue la somme : \[
10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200.
\]
\((10^2)^3\)
:
En utilisant la propriété \((a^b)^c =
a^{b\cdot c}\), \[
(10^2)^3 = 10^{2 \times 3} = 10^6 = 1\,000\,000.
\]
\(10^{7} - 10^1\)
:
Calculons chacune des parties : \[
10^7 = 10\,000\,000,\quad 10^1 = 10.
\] Ainsi, \[
10^{7} - 10^1 = 10\,000\,000 - 10 = 9\,999\,990.
\]
Étape 2 : Comparer
On a les valeurs numériques : - \(10^2+10^2 = 200\) - \((2\cdot 5)^4 = 10^4 = 10000\) - \((10^2)^3 = 10^6 = 1\,000\,000\) - \(10^{7}-10^1 = 9\,999\,990\)
L’ordre croissant est donc :
\[ 200 < 10000 < 1\,000\,000 < 9\,999\,990. \]
Ordre croissant de la partie c) :
\[ \boxed{10^2 + 10^2,\; (2\cdot 5)^4,\; (10^2)^3,\; 10^7 - 10^1.} \]
Les nombres sont :
\[ 8^4 \cdot 3^4,\quad \frac{8^8}{8^3},\quad 8^4 \cdot 8^4,\quad 24^4,\quad 8^7. \]
Étape 1 : Simplifier chaque expression
\(8^4 \cdot 3^4\)
:
En remarquant que la multiplication de puissances élevées à la même
puissance peut s’écrire comme : \[
8^4 \cdot 3^4 = (8 \cdot 3)^4 = 24^4.
\] Ainsi, cette expression est égale à \(24^4\).
\(\frac{8^8}{8^3}\)
:
On utilise la propriété \(\frac{a^m}{a^n} =
a^{m-n}\) : \[
\frac{8^8}{8^3} = 8^{8-3} = 8^5.
\]
\(8^4 \cdot 8^4\)
:
En appliquant \(a^m \cdot a^n =
a^{m+n}\), \[
8^4 \cdot 8^4 = 8^{4+4} = 8^8.
\]
\(24^4\)
:
Cette expression est déjà donnée.
\(8^7\) :
Cette expression est déjà sous forme d’une puissance de 8.
Étape 2 : Comparer
Nous avons donc les expressions suivantes : - \(8^5\)
- \(24^4\) qui est égal à \(8^4 \cdot 3^4\) - \(8^7\) - \(8^8\)
- (et un second \(24^4\) identique au
premier)
Pour comparer, nous pouvons calculer leurs valeurs ou remarquer leur ordre approximatif :
\(8^5\) :
\(8^5 = 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8
= 32768.\)
\(24^4\)
:
On peut calculer : \[
24^2 = 576,\quad 24^4 = 576^2 = 331776.
\]
\(8^7\) :
\(8^7 = 2\,097\,152\) (valeur connue ou
obtenue par calcul progressif).
\(8^8\) :
\(8^8 = 16\,777\,216.\)
Ordre croissant :
\[ 8^5\; (32768) < 24^4\; (331776) < 8^7\; (2\,097\,152) < 8^8\; (16\,777\,216). \]
Rappelons que \(8^4\cdot3^4\) est égal à \(24^4\). Ainsi, les deux expressions \(8^4\cdot3^4\) et \(24^4\) occupent la même place dans l’ordre.
Ordre croissant de la partie d) :
\[ \boxed{\frac{8^8}{8^3},\; 8^4\cdot3^4 \; (=24^4),\; 24^4,\; 8^7,\; 8^4\cdot8^4.} \]
On peut noter que dans la liste, \(8^4\cdot3^4\) et \(24^4\) représentent le même nombre.
Voici les réponses finales pour chaque partie :
a)
\[
\boxed{9^2,\; 3^4,\; 3^2\cdot3^3,\; (3^2)^3,\; 3^{(3^2)}}
\] avec \(9^2\) et \(3^4\) égaux (valeur : 81), puis \(3^5 = 243\), \(3^6 = 729\) et enfin \(3^9 = 19683\).
b)
\[
\boxed{5^3 \cdot 5^7,\; 5^5 \cdot 5^5,\; (5^2)^5,\; 25^5,\; 5^{(8+2)}}
\] tous égaux à \(5^{10}\).
c)
\[
\boxed{10^2+10^2,\; (2\cdot5)^4,\; (10^2)^3,\; 10^7-10^1}
\] ce qui correspond numériquement à : \(200\), \(10000\), \(1\,000\,000\) et \(9\,999\,990\).
d)
\[
\boxed{\frac{8^8}{8^3},\; 8^4\cdot3^4\; (=24^4),\; 24^4,\; 8^7,\;
8^4\cdot8^4}
\] ce qui correspond numériquement à : \(8^5 = 32768\), \(24^4 = 331776\), \(8^7 = 2\,097\,152\) et \(8^8 = 16\,777\,216\).
Cette démarche de simplification des puissances et de comparaison des valeurs numériques permet de classer les expressions en ordre croissant de manière claire et logique.