Exercice : Simplifiez les expressions suivantes en les écrivant sous la forme d’une puissance \(a^n\) lorsque c’est possible, sinon effectuez le calcul.
Voici la correction détaillée de chaque expression :
Étape 1 : On utilise la propriété des puissances qui
dit que
\[
a^m \cdot a^n = a^{m+n}.
\]
Étape 2 :
Appliquons-la ici avec \(a = 3\), \(m = 2\) et \(n =
4\) :
\[
3^{2} \cdot 3^{4} = 3^{2+4} = 3^6.
\]
Réponse : \(\boxed{3^6}\)
Étape 1 : Utilisons la même propriété :
\[
a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}.
\]
Étape 2 : Ici, \(a =
5\), \(m = 3\) et \(n = 2\) :
\[
5^{3} \cdot 5^{2} = 5^{3+2} = 5^5.
\]
Réponse : \(\boxed{5^5}\)
Étape 1 : L’addition de deux fois le même nombre
revient à multiplier ce nombre par 2 :
\[
6^{2} + 6^{2} = 2 \cdot 6^{2}.
\]
Étape 2 : On peut laisser la réponse sous cette
forme ou calculer :
Calculons \(6^2 = 36\), donc
\[
2 \cdot 36 = 72.
\]
Réponse : \(\boxed{72}\)
(ou \(\,2 \cdot 6^{2}\) si l’on
préfère la forme factorisée)
Étape 1 : La division de deux puissances de même
base se simplifie en soustrayant les exposants :
\[
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}.
\]
Étape 2 : Ici, \(a =
8\), \(m = 1\) et \(n = 1\) :
\[
\dfrac{8^{1}}{8^{1}} = 8^{1-1} = 8^0.
\]
Étape 3 : Par définition, toute puissance (non
nulle) à l’exposant \(0\) vaut 1
:
\[
8^0 = 1.
\]
Réponse : \(\boxed{1}\)
Étape 1 : On remarque que les deux termes ont un
facteur commun \(7^3\).
Factorisons :
\[
7^{5} - 7^{3} = 7^3 \cdot 7^2 - 7^3 = 7^3 (7^2 - 1).
\]
Étape 2 : Calculons \(7^2\) :
\[
7^2 = 49.
\]
Étape 3 : Ainsi :
\[
7^3 (49 - 1) = 7^3 \cdot 48.
\]
Réponse : \(\boxed{48 \cdot 7^3}\)
Étape 1 : Ici, les deux termes n’ont pas la même base, ils ne peuvent pas être simplifiés en une seule puissance.
Étape 2 : Calculons chacun des termes :
\[
4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64,
\]
\[
3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27.
\]
Étape 3 : La différence donne :
\[
64 - 27 = 37.
\]
Réponse : \(\boxed{37}\)
Étape 1 : On utilise la propriété :
\[
\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}.
\]
Étape 2 : Ici, \(a =
9\), \(m = 1\) et \(n = 3\) :
\[
\left(9^{1}\right)^{3} = 9^{1 \cdot 3} = 9^3.
\]
Réponse : \(\boxed{9^3}\)
Étape 1 : Identifions le facteur commun. Les deux
termes contiennent \(3^{2}\) (puisque
\(3^6 = 3^2 \cdot 3^4\)).
On factorise donc \(3^2\) :
\[
3^{6} - 3^{2} = 3^2 \cdot 3^4 - 3^2 = 3^2 (3^4 - 1).
\]
Étape 2 : Calculons \(3^4\) :
\[
3^4 = 81.
\]
Étape 3 : Ainsi,
\[
3^2 \cdot (81 - 1) = 3^2 \cdot 80.
\]
Étape 4 : On peut également calculer \(3^2=9\) et obtenir :
\[
9 \cdot 80 = 720.
\]
Réponse : \(\boxed{720}\)
(ou sous forme factorisée : \(3^2 \cdot
80\))
Étape 1 : Utilisons la règle de division des
puissances :
\[
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}.
\]
Étape 2 : Pour \(a=8\), \(m=5\) et \(n=2\) :
\[
\dfrac{8^{5}}{8^{2}} = 8^{5-2} = 8^3.
\]
Réponse : \(\boxed{8^3}\)
Étape 1 : Calculons d’abord l’exposant \(3^2\) :
\[
3^2 = 9.
\]
Étape 2 : La puissance devient alors :
\[
3^{\left(3^{2}\right)} = 3^{9}.
\]
Réponse : \(\boxed{3^9}\)
Étape 1 : Comme pour les autres divisions de
puissances de même base,
\[
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}.
\]
Étape 2 : Pour \(a =
9\), \(m = 4\) et \(n = 2\) :
\[
\dfrac{9^{4}}{9^{2}} = 9^{4-2} = 9^2.
\]
Réponse : \(\boxed{9^2}\)
Étape 1 : Calculez l’exposant \(2^2\) :
\[
2^2 = 4.
\]
Étape 2 : Ainsi, l’expression devient :
\[
5^{\left(2^{2}\right)} = 5^4.
\]
Réponse : \(\boxed{5^4}\)
Étape 1 : On remarque que les deux termes sont des
puissances au carré.
On peut écrire :
\[
7^{2} \cdot 2^{2} = (7 \cdot 2)^2.
\]
Étape 2 : Comme \(7 \cdot
2 = 14\), on obtient :
\[
(7 \cdot 2)^2 = 14^2.
\]
Réponse : \(\boxed{14^2}\)
Étape 1 : Ici, les deux termes ont une base commune
mais ne se combinent pas comme dans le cas d’une multiplication. On
cherche donc à factoriser le terme commun le plus bas, en l’occurrence
\(4^2\).
\[
4^2 + 4^4 = 4^2\,(1 + 4^{2}).
\]
Étape 2 : Calculons \(4^2\) :
\[
4^2 = 16.
\]
Étape 3 : Ainsi,
\[
1 + 4^2 = 1 + 16 = 17.
\]
Étape 4 : On obtient :
\[
16 \cdot 17 = 272.
\]
Réponse : \(\boxed{272}\)
(la forme factorisée est \(4^2(1+16)\))
Étape 1 : Utilisons la propriété des puissances
:
\[
\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}.
\]
Étape 2 : Pour \(a =
7\), \(m=2\) et \(n=2\) :
\[
\left(7^{2}\right)^{2} = 7^{2 \cdot 2} = 7^4.
\]
Réponse : \(\boxed{7^4}\)
Étape 1 : Appliquons la règle de multiplication des
puissances de même base :
\[
a^m \cdot a^n = a^{m+n}.
\]
Étape 2 : Pour \(a=8\), \(m=3\) et \(n=2\) :
\[
8^{3} \cdot 8^{2} = 8^{3+2} = 8^5.
\]
Réponse : \(\boxed{8^5}\)
Étape 1 : Remarquons que la division de deux
puissances avec deux bases différentes mais ayant le même exposant peut
être écrite sous la forme d’une puissance du quotient :
\[
\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n.
\]
Étape 2 : Ici, \(a =
4\), \(b = 3\) et \(n = 2\) :
\[
\dfrac{4^{2}}{3^{2}} = \left(\frac{4}{3}\right)^2.
\]
Réponse : \(\boxed{\left(\frac{4}{3}\right)^2}\)
Étape 1 : Ici, les bases sont différentes. Il est
donc préférable de calculer chaque terme.
\[
2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16,
\]
\[
5^2 = 5 \times 5 = 25.
\]
Étape 2 : On multiplie ensuite :
\[
16 \cdot 25 = 400.
\]
Réponse : \(\boxed{400}\)
Chaque étape a été détaillée pour vous aider à bien comprendre l’utilisation des propriétés des puissances et les simplifications associées. Bonne étude !