Exercice 5

Observez les égalités suivantes et décrivez la méthode permettant de résoudre tout calcul similaire.

Addition et soustraction

  1. \(4^{3} + 4^{2} = 64 + 16 = 80\)
  2. \(8^{4} - 8^{0} = 4096 - 1 = 4095\)
  3. \(6^{3} + 6^{2} = 216 + 36 = 252\)
  4. \(5^{2} + 5^{2} = 25 + 25 = 50\)
  5. \(7^{1} - 7^{1} = 7 - 7 = 0\)
  6. \(2^{3} + 2^{3} = 8 + 8 = 16 = 2^{4}\)

Multiplication

  1. \(4^{2} \cdot 4^{4} = 4^{6}\)
  2. \(8^{3} \cdot 8^{2} = 8^{5}\)
  3. \(1^{4} \cdot 1^{7} = 1^{11}\)
  4. \(2^{2} \cdot 5^{2} = (2 \cdot 5)^{2} = 10^{2}\)
  5. \(7^{1} \cdot 7^{2} = 7^{3}\)
  6. \(6^{5} \cdot 6^{2} = 6^{7}\)
  7. \(3^{3} \cdot 2^{3} = (3 \cdot 2)^{3} = 6^{3}\)
  8. \(5^{4} \cdot 5^{3} = 5^{7}\)

Division

  1. \(4^{5} : 4^{2} = 4^{3}\)
  2. \(7^{3} : 7^{3} = 7^{0}\)
  3. \(9^{4} : 9^{2} = 9^{2}\)
  4. \(8^{6} : 8^{4} = 8^{2}\)
  5. \(\dfrac{3^{3}}{2^{3}} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\)
  6. \(1^{5} : 1^{2} = 1^{3}\)
  7. \(2^{4} : 2^{2} = 2^{2}\)
  8. \(5^{3} : 5^{2} = 5^{1}\)

Puissances d’une puissance

  1. \(\left(2^{3}\right)^{2} = 2^{6}\)
  2. \(\left(3^{2}\right)^{4} = 3^{8}\)
  3. \(\left(7^{2}\right)^{3} = 7^{6}\)
  4. \(\left(4^{3}\right)^{2} = 4^{6}\)

Réponse

Réponse très courte :
Pour additionner ou soustraire des puissances, calculez d’abord chaque terme puis effectuez l’opération. Pour multiplier des puissances de même base, additionnez les exposants (sinon, multipliez les bases et conservez l’exposant commun). Pour diviser des puissances de même base, soustrayez les exposants (sinon, divisez les bases et appliquez l’exposant). Enfin, pour une puissance d’une puissance, multipliez les exposants.

Corrigé détaillé

Voici une proposition de correction détaillée qui explique la méthode à adopter pour résoudre les calculs présentés.


Introduction

Les égalités proposées utilisent différentes propriétés des puissances. Pour pouvoir résoudre tout calcul similaire, il faut connaître et savoir appliquer les règles suivantes :

  1. Addition et soustraction de puissances :
    Il n’existe pas de règle directe permettant de combiner deux puissances avec des exposants différents par addition ou soustraction.
    Méthode :
    • Calculer d’abord chaque puissance séparément (en évaluant la valeur numérique).
    • Ensuite, effectuer l’addition ou la soustraction des résultats obtenus.
    • Dans certains cas particuliers, il est possible de factoriser si les puissances ont un facteur commun.
  2. Multiplication de puissances :
    • Même base :
      \[ a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n} \]
    • Exposants identiques et bases différentes :
      Si les exposants sont les mêmes, alors on peut utiliser la règle : \[ a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n} \]
  3. Division de puissances :
    • Même base :
      \[ \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \quad \text{(avec } a\neq0 \text{)} \]
    • Exposants identiques et bases différentes :
      \[ \frac{a^{n}}{b^{n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{n} \]
  4. Puissance d’une puissance :
    \[ \left(a^{m}\right)^{n} = a^{m \cdot n} \]

Application aux calculs proposés

1. Addition et soustraction

2. Multiplication

3. Division

4. Puissances d’une puissance

Conclusion

Pour résoudre un calcul similaire, on doit :

  1. Identifier l’opération et la forme de la puissance dans l’égalité (addition, soustraction, multiplication, division ou puissance d’une puissance).
  2. Appliquer la ou les propriétés appropriées :
    • Pour une addition ou une soustraction, calculer séparément chaque puissance puis effectuer l’opération arithmétique.
    • Pour la multiplication du même nombre élevé à des puissances différentes, additionner les exposants. Pour des bases différentes mais avec le même exposant, multiplier les bases et conserver l’exposant commun.
    • Pour la division de puissances de même base, soustraire les exposants. Pour des bases différentes mais avec le même exposant, diviser les bases et élever le quotient à l’exposant.
    • Pour une puissance d’une puissance, multiplier les exposants.

En suivant scrupuleusement ces étapes, vous serez capable de résoudre toute équation ou calcul utilisant des puissances de manière correcte et organisée.

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