Exercice 5
Observez les égalités suivantes et décrivez la méthode permettant de
résoudre tout calcul similaire.
Addition et soustraction
- \(4^{3} + 4^{2} = 64 + 16 =
80\)
- \(8^{4} - 8^{0} = 4096 - 1 =
4095\)
- \(6^{3} + 6^{2} = 216 + 36 =
252\)
- \(5^{2} + 5^{2} = 25 + 25 =
50\)
- \(7^{1} - 7^{1} = 7 - 7 = 0\)
- \(2^{3} + 2^{3} = 8 + 8 = 16 =
2^{4}\)
Multiplication
- \(4^{2} \cdot 4^{4} = 4^{6}\)
- \(8^{3} \cdot 8^{2} = 8^{5}\)
- \(1^{4} \cdot 1^{7} =
1^{11}\)
- \(2^{2} \cdot 5^{2} = (2 \cdot 5)^{2} =
10^{2}\)
- \(7^{1} \cdot 7^{2} = 7^{3}\)
- \(6^{5} \cdot 6^{2} = 6^{7}\)
- \(3^{3} \cdot 2^{3} = (3 \cdot 2)^{3} =
6^{3}\)
- \(5^{4} \cdot 5^{3} = 5^{7}\)
Division
- \(4^{5} : 4^{2} = 4^{3}\)
- \(7^{3} : 7^{3} = 7^{0}\)
- \(9^{4} : 9^{2} = 9^{2}\)
- \(8^{6} : 8^{4} = 8^{2}\)
- \(\dfrac{3^{3}}{2^{3}} =
\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\)
- \(1^{5} : 1^{2} = 1^{3}\)
- \(2^{4} : 2^{2} = 2^{2}\)
- \(5^{3} : 5^{2} = 5^{1}\)
Puissances d’une puissance
- \(\left(2^{3}\right)^{2} =
2^{6}\)
- \(\left(3^{2}\right)^{4} =
3^{8}\)
- \(\left(7^{2}\right)^{3} =
7^{6}\)
- \(\left(4^{3}\right)^{2} =
4^{6}\)
Réponse
Réponse très courte :
Pour additionner ou soustraire des puissances, calculez d’abord chaque
terme puis effectuez l’opération. Pour multiplier des puissances de même
base, additionnez les exposants (sinon, multipliez les bases et
conservez l’exposant commun). Pour diviser des puissances de même base,
soustrayez les exposants (sinon, divisez les bases et appliquez
l’exposant). Enfin, pour une puissance d’une puissance, multipliez les
exposants.
Corrigé détaillé
Voici une proposition de correction détaillée qui explique la méthode
à adopter pour résoudre les calculs présentés.
Introduction
Les égalités proposées utilisent différentes propriétés des
puissances. Pour pouvoir résoudre tout calcul similaire, il faut
connaître et savoir appliquer les règles suivantes :
- Addition et soustraction de puissances :
Il n’existe pas de règle directe permettant de combiner deux puissances
avec des exposants différents par addition ou soustraction.
Méthode :
- Calculer d’abord chaque puissance séparément (en évaluant la valeur
numérique).
- Ensuite, effectuer l’addition ou la soustraction des résultats
obtenus.
- Dans certains cas particuliers, il est possible de factoriser si les
puissances ont un facteur commun.
- Multiplication de puissances :
- Même base :
\[
a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}
\]
- Exposants identiques et bases différentes :
Si les exposants sont les mêmes, alors on peut utiliser la règle : \[
a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}
\]
- Division de puissances :
- Même base :
\[
\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \quad \text{(avec } a\neq0 \text{)}
\]
- Exposants identiques et bases différentes :
\[
\frac{a^{n}}{b^{n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{n}
\]
- Puissance d’une puissance :
\[
\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m \cdot n}
\]
Application aux calculs
proposés
1. Addition et soustraction
- Exemple a)
\[
4^{3} + 4^{2} = 64 + 16 = 80
\] Méthode employée :
- Calculer \(4^3 = 64\) et \(4^2 = 16\).
- Additionner les deux résultats pour obtenir \(64+16=80\).
- Exemple b)
\[
8^{4} - 8^{0} = 4096 - 1 = 4095
\] Méthode employée :
- Calculer \(8^4 = 4096\) et \(8^0 = 1\) (rappel : toute base non nulle
élevée à la puissance 0 vaut 1).
- Réaliser la soustraction : \(4096 - 1 =
4095\).
- Exemple c)
\[
6^{3} + 6^{2} = 216 + 36 = 252
\] Méthode employée :
- Calculer \(6^3 = 216\) et \(6^2 = 36\).
- Additionner pour obtenir \(216 + 36 =
252\).
- Exemple d)
\[
5^{2} + 5^{2} = 25 + 25 = 50
\] Méthode employée :
- Calculer \(5^2 = 25\) pour chacun
des termes.
- Additionner \(25+25=50\).
- Exemple e)
\[
7^{1} - 7^{1} = 7 - 7 = 0
\] Méthode employée :
- Chaque terme vaut \(7\) (puisque
\(7^{1} = 7\)).
- La soustraction donne \(7-7=0\).
- Exemple f)
\[
2^{3} + 2^{3} = 8 + 8 = 16 = 2^{4}
\] Méthode employée :
- Calculer \(2^3 = 8\).
- Additionner \(8 + 8 = 16\).
- On peut remarquer aussi que facturer le terme commun donne : \[
2^{3} + 2^{3} = 2 \cdot 2^{3} = 2^{1+3} = 2^{4}.
\]
2. Multiplication
- Exemple g)
\[
4^{2} \cdot 4^{4} = 4^{2+4} = 4^{6}
\] Méthode employée :
- Les deux termes ont la même base \(4\).
- Appliquer la règle \(a^{m} \cdot a^{n} =
a^{m+n}\) pour obtenir \(4^{2+4}=4^{6}\).
- Exemple h)
\[
8^{3} \cdot 8^{2} = 8^{3+2} = 8^{5}
\] Méthode employée :
- Même base \(8\) donc on additionne
les exposants : \(3+2=5\).
- Exemple i)
\[
1^{4} \cdot 1^{7} = 1^{4+7} = 1^{11}
\] Méthode employée :
- Même base \(1\). Notez que pour
toute puissance, \(1^n=1\) mais on
applique tout de même la règle de l’addition des exposants.
- Exemple j)
\[
2^{2} \cdot 5^{2} = (2 \cdot 5)^{2} = 10^{2}
\] Méthode employée :
- Ici, les bases sont différentes mais les exposants sont
identiques.
- On peut donc regrouper sous forme de produit : \((2 \cdot 5)^{2}=10^{2}\).
- Exemple k)
\[
7^{1} \cdot 7^{2} = 7^{1+2} = 7^{3}
\] Méthode employée :
- Même base \(7\). Addition des
exposants : \(1+2=3\).
- Exemple l)
\[
6^{5} \cdot 6^{2} = 6^{5+2} = 6^{7}
\] Méthode employée :
- Même base \(6\) et on additionne
les exposants.
- Exemple m)
\[
3^{3} \cdot 2^{3} = (3\cdot 2)^{3} = 6^{3}
\] Méthode employée :
- Même exposant pour des bases différentes : on multiplie ces bases,
puis on garde l’exposant commun.
- Donc \(\left(3 \cdot 2\right)^{3} =
6^{3}\).
- Exemple n)
\[
5^{4} \cdot 5^{3} = 5^{4+3} = 5^{7}
\] Méthode employée :
- Même base \(5\) donc addition des
exposants : \(4+3=7\).
3. Division
- Exemple o)
\[
4^{5} : 4^{2} = 4^{5-2} = 4^{3}
\] Méthode employée :
- Même base \(4\).
- Appliquer la règle de la division en soustrayant les exposants.
- Exemple p)
\[
7^{3} : 7^{3} = 7^{3-3} = 7^{0}
\] Méthode employée :
- Même base \(7\) avec exposants
identiques, d’où le résultat qui est écrit comme \(7^{0}\).
- Exemple q)
\[
9^{4} : 9^{2} = 9^{4-2} = 9^{2}
\] Méthode employée :
- Appliquer \(a^{m}/a^{n}= a^{m-n}\)
pour avoir \(9^{4-2}=9^{2}\).
- Exemple r)
\[
8^{6} : 8^{4} = 8^{6-4} = 8^{2}
\] Méthode employée :
- Même principe, soustraction des exposants.
- Exemple s)
\[
\frac{3^{3}}{2^{3}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{3}
\] Méthode employée :
- Ici, les exposants sont identiques mais les bases diffèrent.
- La division peut être effectuée en divisant les bases, le tout élevé
à la puissance commune : \(\left(\frac{3}{2}\right)^{3}\).
- Exemple t)
\[
1^{5} : 1^{2} = 1^{5-2} = 1^{3}
\] Méthode employée :
- Même base \(1\).
- Rappel : \(1\) élevé à n’importe
quelle puissance reste \(1\), mais on
peut écrire le calcul comme \(1^{3}\).
- Exemple u)
\[
2^{4} : 2^{2} = 2^{4-2} = 2^{2}
\] Méthode employée :
- Même base \(2\) donc soustraction
des exposants, \(4-2=2\).
- Exemple v)
\[
5^{3} : 5^{2} = 5^{3-2} = 5^{1}
\] Méthode employée :
- Même base \(5\) et ainsi \(3-2=1\), ce qui donne \(5^{1}\).
4. Puissances d’une puissance
- Exemple w)
\[
\left(2^{3}\right)^{2} = 2^{3 \times 2} = 2^{6}
\] Méthode employée :
- On applique la règle \(\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m \cdot
n}\).
- Exemple x)
\[
\left(3^{2}\right)^{4} = 3^{2 \times 4} = 3^{8}
\] Méthode employée :
- Multiplier les exposants : \(2 \times
4=8\).
- Exemple y)
\[
\left(7^{2}\right)^{3} = 7^{2 \times 3} = 7^{6}
\] Méthode employée :
- Multiplier \(2 \times 3\) pour
obtenir \(6\).
- Exemple z)
\[
\left(4^{3}\right)^{2} = 4^{3 \times 2} = 4^{6}
\] Méthode employée :
- On calcule \(3 \times 2 = 6\) et
ainsi, on obtient \(4^{6}\).
Conclusion
Pour résoudre un calcul similaire, on doit :
- Identifier l’opération et la forme de la puissance dans l’égalité
(addition, soustraction, multiplication, division ou puissance d’une
puissance).
- Appliquer la ou les propriétés appropriées :
- Pour une addition ou une soustraction, calculer
séparément chaque puissance puis effectuer l’opération
arithmétique.
- Pour la multiplication du même nombre élevé à des
puissances différentes, additionner les exposants. Pour des bases
différentes mais avec le même exposant, multiplier les bases et
conserver l’exposant commun.
- Pour la division de puissances de même base,
soustraire les exposants. Pour des bases différentes mais avec le même
exposant, diviser les bases et élever le quotient à l’exposant.
- Pour une puissance d’une puissance, multiplier les
exposants.
En suivant scrupuleusement ces étapes, vous serez capable de résoudre
toute équation ou calcul utilisant des puissances de manière correcte et
organisée.