Exercice
Soit l’expression \[ 8^{2} \cdot 8^{3}. \] Trois personnes effectuent ce calcul de manières différentes : - Alice obtient les résultats \(8^{5}\) et \(2^{15}\). - Bastien écrit le résultat sous la forme \(8^{5}\). - Cécile exprime le résultat par \(64^{\frac{5}{2}}\).
Expliquez pourquoi ces différentes méthodes donnent le même résultat.
8² × 8³ = 8⁵, ce qui équivaut à (2³)⁵ = 2¹⁵ et à 64^(5/2).
Voici une correction détaillée pour démontrer que les différentes méthodes donnent le même résultat.
1. Utilisation de la loi des exposants
On part de l’expression
\[ 8^{2} \cdot 8^{3}. \]
Lorsque l’on multiplie deux puissances ayant la même base, on additionne les exposants. Ainsi, on a :
\[ 8^{2} \cdot 8^{3} = 8^{2+3} = 8^5. \]
C’est pourquoi Alice et Bastien trouvent \(8^5\) comme résultat.
2. Transformation en exposant de 2
Pour obtenir une autre forme, on peut réécrire 8 comme une puissance de 2, puisque
\[ 8 = 2^3. \]
En remplaçant dans \(8^5\), on obtient :
\[ 8^5 = (2^3)^5. \]
Ensuite, on applique la règle de la puissance d’une puissance, c’est-à-dire :
\[ (a^b)^c = a^{b \cdot c}. \]
Ici :
\[ (2^3)^5 = 2^{3 \cdot 5} = 2^{15}. \]
C’est ainsi qu’Alice propose également \(2^{15}\). Même si l’expression semble différente, c’est bien équivalente à \(8^5\).
3. Utilisation de la forme \(64^{\frac{5}{2}}\)
Pour comprendre cette réécriture, on remarque d’abord que :
\[ 64 = 8^2. \]
Alors, on peut écrire \(8^5\) en regroupant \(8^2\) et \(8^3\) de la façon suivante. On cherche à obtenir une forme qui ressemble à une puissance avec l’exposant fractionnaire. Un moyen est d’observer que :
\[ 8^5 = (8^2)^{\frac{5}{2}}. \]
Vérifions cela en utilisant la propriété de la puissance d’une puissance :
\[ (8^2)^{\frac{5}{2}} = 8^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 8^5. \]
Sachant que \(8^2 = 64\), on peut remplacer :
\[ 8^5 = 64^{\frac{5}{2}}. \]
Cécile exprime donc le résultat sous cette forme.
Conclusion
Les trois approches, bien qu’elles paraissent différentes, se basent toutes sur des propriétés des exposants :
Ainsi, ces trois expressions représentent le même nombre.