Dans une légende asiatique, un sage propose au souverain une étrange récompense en pièces d’or. Il suggère de déposer une pièce sur la première case d’une rangée, puis de doubler le nombre de pièces à chaque case suivante, soit : \[ 1,\, 2,\, 4,\, 8,\, \dots \] jusqu’à la 64ᵉ case.
Calculer le nombre de pièces d’or placées sur cette dernière case.
Sur la 64ᵉ case, il y a 2^63 pièces.
Nous avons ici une suite géométrique où chaque terme est obtenu en doublant le terme précédent. La première case comporte 1 pièce, la deuxième \(2\) pièces, la troisième \(4\) pièces, et ainsi de suite.
Pour une suite géométrique, la formule du n-ième terme est : \[
a_n = a_1 \times r^{n-1}
\] où
- \(a_1\) est le premier terme, ici
\(a_1 = 1\), - \(r\) est la raison de la suite, ici \(r = 2\), - \(n\) est le numéro de la case.
Pour \(n = 64\), on a : \[ a_{64} = 1 \times 2^{64-1} = 2^{63} \]
Le nombre de pièces d’or placées sur la 64ᵉ case est donc : \[ \boxed{2^{63}} \]
Cette valeur représente exactement le nombre de pièces que l’on trouve sur la dernière case suivant le schéma proposé dans la légende.