Question :
Une balle rebondit à chaque fois en atteignant les \(\frac{3}{4}\) de la hauteur maximale du
rebond précédent.
Quel est la fraction de la hauteur initiale atteinte après le quatrième rebond ?
Après le quatrième rebond, la balle atteint 81/256 de la hauteur initiale.
Nous allons déterminer quelle fraction de la hauteur initiale la balle atteint après le quatrième rebond.
Étape 1 : Comprendre le problème
À chaque rebond, la balle atteint \(\frac{3}{4}\) de la hauteur du rebond précédent. Si on note \(h_0\) la hauteur initiale, après le premier rebond la hauteur atteinte est : \[ h_1 = \frac{3}{4} \times h_0 \]
Étape 2 : Établir la relation pour chaque rebond
Pour chaque rebond suivant, la hauteur est égale à \(\frac{3}{4}\) de la hauteur du rebond précédent. Ainsi, nous avons : - Après le deuxième rebond : \[ h_2 = \frac{3}{4} \times h_1 = \frac{3}{4} \times \left(\frac{3}{4} \times h_0 \right) = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times h_0 \] - Après le troisième rebond : \[ h_3 = \frac{3}{4} \times h_2 = \left(\frac{3}{4}\right)^3 \times h_0 \] - Après le quatrième rebond : \[ h_4 = \frac{3}{4} \times h_3 = \left(\frac{3}{4}\right)^4 \times h_0 \]
Étape 3 : Calculer la fraction pour le quatrième rebond
Nous devons calculer : \[ \left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{3^4}{4^4} \] Calculons séparément le numérateur et le dénominateur : - Numérateur : \(3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\) - Dénominateur : \(4^4 = 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 256\)
Ainsi, \[ \left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{81}{256} \]
Conclusion
La fraction de la hauteur initiale atteinte après le quatrième rebond est \(\frac{81}{256}\).