En utilisant les propriétés des puissances, corrigez les expressions suivantes :
\[ (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = (-4)^3 = -64 \]
\[ (4n)^2 = 16n^2 \]
\[ (3b) \cdot (3b) \cdot (3b) = (3b)^3 = 27b^3 \]
\[ (5ac)^3 = 125\,a^3c^3 \]
\[ (7c)(7c)(7c)(7c) = 7^4c^4 = 2401c^4 \]
\[ (-2y^2)^3 = -8y^6 \]
\[ (3\cdot3\cdot3)(4\cdot4\cdot4) = (3\cdot4)^3 = 12^3 \]
\[ q^2 \cdot q^3 = q^{2+3} = q^5 \]
\[ (6\cdot6)(8\cdot8) = 6^2\cdot8^2 = (6\cdot8)^2 = 48^2 \]
\[ (3z^2)^3 = 27z^6 \]
\[ (3x)(3x)(4y)(4y) = (3x)^2\cdot(4y)^2 = 9x^2\cdot16y^2 = 144x^2y^2 \]
\[ (-6t^3)^2 = 36t^6 \]
Réponses finales : a) –64
b) 16n²
c) 27b³
d) 125a³c³
e) 2401c⁴
f) –8y⁶
h) 12³ (soit 1728)
i) q⁵
j) 48²
k) 27z⁶
l) 144x²y²
m) 36t⁶
9) r⁷
n) 16u²v²
Voici la correction détaillée en français de chaque expression proposée :
\[ (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = (-4)^3 = -64 \]
Étapes de raisonnement :
1. On multiplie trois fois \(-4\).
2. La formule \(a^3\) signifie
multiplier \(a\) par lui-même trois
fois.
3. Pour \(a = -4\) :
\[
(-4)^3 = (-4) \times (-4) \times (-4)
\] 4. Calculons par étapes :
- \((-4) \times (-4) = 16\) (le produit
de deux nombres négatifs est positif),
- Puis \(16 \times (-4) = -64\).
Conclusion :
L’expression est correcte et la valeur obtenue est \(-64\).
\[ (4n)^2 = 16n^2 \]
Étapes de raisonnement :
1. L’exposant 2 s’applique à tout le produit \(4n\).
2. On utilise la propriété : \((ab)^2 = a^2
\cdot b^2\).
3. Ainsi,
\[
(4n)^2 = 4^2 \cdot n^2 = 16n^2.
\]
Conclusion :
L’expression est correcte.
\[ (3b) \cdot (3b) \cdot (3b) = (3b)^3 = 27b^3 \]
Étapes de raisonnement :
1. Ici, on multiplie trois fois le même facteur \(3b\).
2. En écrivant ceci sous forme de puissance, on a :
\[
(3b)^3 = 3^3 \cdot b^3.
\] 3. Calcul de \(3^3\)
:
\[
3 \times 3 \times 3 = 27.
\]
Conclusion :
On obtient bien \(27b^3\), l’expression
est correcte.
\[ (5ac)^3 = 125\,a^3c^3 \]
Étapes de raisonnement :
1. La propriété \((abc)^3 = a^3 \cdot b^3
\cdot c^3\) s’applique ici.
2. On a :
\[
(5ac)^3 = 5^3 \cdot a^3 \cdot c^3.
\] 3. Calcul de \(5^3\)
:
\[
5 \times 5 \times 5 = 125.
\]
Conclusion :
Le résultat est \(125\,a^3c^3\), ce qui
est correct.
\[ (7c)(7c)(7c)(7c) = 7^4c^4 = 2401c^4 \]
Étapes de raisonnement :
1. On multiplie quatre fois \(7c\) et
on peut écrire cela comme une puissance :
\[
(7c)^4 = 7^4 \cdot c^4.
\] 2. Calcul de \(7^4\)
:
\[
7 \times 7 \times 7 \times 7 = 2401.
\]
Conclusion :
L’expression est correcte et on a obtenu \(2401c^4\).
\[ (-2y^2)^3 = -8y^6 \]
Étapes de raisonnement :
1. La puissance s’exerce sur \(-2\) et
sur \(y^2\) séparément.
2. On a :
\[
(-2y^2)^3 = (-2)^3 \cdot (y^2)^3.
\] 3. Calcul de \((-2)^3\)
:
\[
-2 \times -2 = 4, \quad 4 \times -2 = -8.
\] 4. Pour les puissances de \(y\) :
\[
(y^2)^3 = y^{2 \times 3} = y^6.
\]
Conclusion :
On retrouve bien \(-8y^6\).
\[ (3\cdot3\cdot3)(4\cdot4\cdot4) = (3\cdot4)^3 = 12^3 \]
Étapes de raisonnement :
1. Calculons séparément :
\[
3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3 = 27 \quad \text{et} \quad 4 \cdot 4 \cdot 4
= 4^3 = 64.
\] 2. Le produit donne :
\[
27 \times 64 = 1728.
\] 3. D’autre part, on peut regrouper les facteurs :
\[
(3 \cdot 4)^3 = 12^3.
\] 4. Vérification :
\[
12^3 = 12 \times 12 \times 12 = 1728.
\]
Conclusion :
Ainsi, l’expression est correcte.
\[ q^2 \cdot q^3 = q^{2+3} = q^5 \]
Étapes de raisonnement :
1. Lorsque l’on multiplie des puissances de même base, on additionne les
exposants :
\[
q^2 \cdot q^3 = q^{2+3}.
\] 2. Ici, \(2+3 = 5\).
Conclusion :
L’expression se simplifie correctement en \(q^5\).
\[ (6\cdot6)(8\cdot8) = 6^2\cdot8^2 = (6\cdot8)^2 = 48^2 \]
Étapes de raisonnement :
1. On note :
\[
6 \cdot 6 = 6^2 \quad \text{et} \quad 8 \cdot 8 = 8^2.
\] 2. Le produit donne :
\[
6^2 \cdot 8^2.
\] 3. En utilisant la propriété \((ab)^2 = a^2 \cdot b^2\), on peut écrire
:
\[
6^2 \cdot 8^2 = (6\cdot8)^2 = 48^2.
\]
Conclusion :
L’expression est correctement développée et mise sous forme de
puissance.
\[ (3z^2)^3 = 27z^6 \]
Étapes de raisonnement :
1. Appliquons la règle :
\[
(3z^2)^3 = 3^3 \cdot (z^2)^3.
\] 2. Calcul de \(3^3\)
:
\[
3 \times 3 \times 3 = 27.
\] 3. Pour \(z\) :
\[
(z^2)^3 = z^{2 \times 3} = z^6.
\]
Conclusion :
L’expression se simplifie en \(27z^6\),
ce qui est correct.
\[ (3x)(3x)(4y)(4y) = (3x)^2\cdot(4y)^2 = 9x^2\cdot16y^2 = 144x^2y^2 \]
Étapes de raisonnement :
1. On regroupe les facteurs similaires pour obtenir deux carrés :
\[
(3x) \times (3x) = (3x)^2 \quad \text{et} \quad (4y) \times (4y) =
(4y)^2.
\] 2. Développons chacun :
\[
(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2 \quad \text{et} \quad (4y)^2 = 4^2
\cdot y^2 = 16y^2.
\] 3. Ensuite :
\[
9x^2 \cdot 16y^2 = 144x^2y^2.
\]
Conclusion :
L’expression est correcte et le résultat est \(144x^2y^2\).
\[ (-6t^3)^2 = 36t^6 \]
Étapes de raisonnement :
1. On élève le produit \(-6t^3\) au
carré :
\[
(-6t^3)^2 = (-6)^2 \cdot (t^3)^2.
\] 2. Calcul de \((-6)^2\)
:
\[
(-6)^2 = 36 \quad (\text{car le produit d'un nombre négatif par
lui-même est positif}).
\] 3. Pour \(t\) :
\[
(t^3)^2 = t^{3 \times 2} = t^6.
\]
Conclusion :
Le résultat obtenu est \(36t^6\).
\[ r^4 \cdot r^3 = r^{4+3} = r^7 \]
Étapes de raisonnement :
1. Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les
exposants :
\[
r^4 \cdot r^3 = r^{4+3}.
\] 2. Ici, \(4+3 = 7\).
Conclusion :
L’expression est correctement simplifiée en \(r^7\).
\[ (2u)(2v)(2u)(2v) = (2u\cdot2v)^2 = (4uv)^2 = 16u^2v^2 \]
Étapes de raisonnement :
1. On remarque deux groupes identiques :
\[
(2u)(2v) = 4uv.
\] 2. Puisque chaque groupe se retrouve deux fois, cela
s’écrit :
\[
(4uv) \cdot (4uv) = (4uv)^2.
\] 3. Calcul de \((4uv)^2\)
:
\[
4^2 \cdot u^2 \cdot v^2 = 16u^2v^2.
\]
Conclusion :
L’expression est correcte et simplifiée en \(16u^2v^2\).
Chaque expression a été simplifiée en appliquant correctement les propriétés des puissances. Aucune des expressions ne présente d’erreur, et toutes les simplifications ont été réalisées en respectant les règles de multiplication et de puissance.
J’espère que cette correction détaillée vous a aidé à bien comprendre la méthode de simplification des expressions en utilisant les propriétés des puissances.