Exercices corrigés - Puissances et problèmes - 10e
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Exercice 1
En utilisant les propriétés des puissances, corrigez les expressions suivantes :
\[ (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = (-4)^3 = -64 \]
\[ (4n)^2 = 16n^2 \]
\[ (3b) \cdot (3b) \cdot (3b) = (3b)^3 = 27b^3 \]
\[ (5ac)^3 = 125\,a^3c^3 \]
\[ (7c)(7c)(7c)(7c) = 7^4c^4 = 2401c^4 \]
\[ (-2y^2)^3 = -8y^6 \]
\[ (3\cdot3\cdot3)(4\cdot4\cdot4) = (3\cdot4)^3 = 12^3 \]
\[ q^2 \cdot q^3 = q^{2+3} = q^5 \]
\[ (6\cdot6)(8\cdot8) = 6^2\cdot8^2 = (6\cdot8)^2 = 48^2 \]
\[ (3z^2)^3 = 27z^6 \]
\[ (3x)(3x)(4y)(4y) = (3x)^2\cdot(4y)^2 = 9x^2\cdot16y^2 = 144x^2y^2 \]
\[ (-6t^3)^2 = 36t^6 \]
- \[ r^4 \cdot r^3 = r^{4+3} = r^7 \]
- \[ (2u)(2v)(2u)(2v) = (2u\cdot2v)^2 = (4uv)^2 = 16u^2v^2 \]
Exercice 2
Question :
Une balle rebondit à chaque fois en atteignant les \(\frac{3}{4}\) de la hauteur maximale du rebond précédent.
Quel est la fraction de la hauteur initiale atteinte après le quatrième rebond ?
Exercice 3
Dans une légende asiatique, un sage propose au souverain une étrange récompense en pièces d’or. Il suggère de déposer une pièce sur la première case d’une rangée, puis de doubler le nombre de pièces à chaque case suivante, soit : \[ 1,\, 2,\, 4,\, 8,\, \dots \] jusqu’à la 64ᵉ case.
Calculer le nombre de pièces d’or placées sur cette dernière case.
Exercice 4
Exercice
Soit l’expression \[ 8^{2} \cdot 8^{3}. \] Trois personnes effectuent ce calcul de manières différentes : - Alice obtient les résultats \(8^{5}\) et \(2^{15}\). - Bastien écrit le résultat sous la forme \(8^{5}\). - Cécile exprime le résultat par \(64^{\frac{5}{2}}\).
Expliquez pourquoi ces différentes méthodes donnent le même résultat.
Exercice 5
Observez les égalités suivantes et décrivez la méthode permettant de résoudre tout calcul similaire.
Addition et soustraction
- \(4^{3} + 4^{2} = 64 + 16 = 80\)
- \(8^{4} - 8^{0} = 4096 - 1 = 4095\)
- \(6^{3} + 6^{2} = 216 + 36 = 252\)
- \(5^{2} + 5^{2} = 25 + 25 = 50\)
- \(7^{1} - 7^{1} = 7 - 7 = 0\)
- \(2^{3} + 2^{3} = 8 + 8 = 16 = 2^{4}\)
Multiplication
- \(4^{2} \cdot 4^{4} = 4^{6}\)
- \(8^{3} \cdot 8^{2} = 8^{5}\)
- \(1^{4} \cdot 1^{7} = 1^{11}\)
- \(2^{2} \cdot 5^{2} = (2 \cdot 5)^{2} = 10^{2}\)
- \(7^{1} \cdot 7^{2} = 7^{3}\)
- \(6^{5} \cdot 6^{2} = 6^{7}\)
- \(3^{3} \cdot 2^{3} = (3 \cdot 2)^{3} = 6^{3}\)
- \(5^{4} \cdot 5^{3} = 5^{7}\)
Division
- \(4^{5} : 4^{2} = 4^{3}\)
- \(7^{3} : 7^{3} = 7^{0}\)
- \(9^{4} : 9^{2} = 9^{2}\)
- \(8^{6} : 8^{4} = 8^{2}\)
- \(\dfrac{3^{3}}{2^{3}} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\)
- \(1^{5} : 1^{2} = 1^{3}\)
- \(2^{4} : 2^{2} = 2^{2}\)
- \(5^{3} : 5^{2} = 5^{1}\)
Puissances d’une puissance
- \(\left(2^{3}\right)^{2} = 2^{6}\)
- \(\left(3^{2}\right)^{4} = 3^{8}\)
- \(\left(7^{2}\right)^{3} = 7^{6}\)
- \(\left(4^{3}\right)^{2} = 4^{6}\)
Exercice 6
Exercice : Simplifiez les expressions suivantes en les écrivant sous la forme d’une puissance \(a^n\) lorsque c’est possible, sinon effectuez le calcul.
- \(3^{2} \cdot 3^{4}\)
- \(5^{3} \cdot 5^{2}\)
- \(6^{2} + 6^{2}\)
- \(\dfrac{8^{1}}{8^{1}}\)
- \(7^{5} - 7^{3}\)
- \(4^{3} - 3^{3}\)
- \(\left(9^{1}\right)^{3}\)
- \(3^{6} - 3^{2}\)
- \(\dfrac{8^{5}}{8^{2}}\)
- \(3^{\left(3^{2}\right)}\)
- \(\dfrac{9^{4}}{9^{2}}\)
- \(5^{\left(2^{2}\right)}\)
- \(7^{2} \cdot 2^{2}\)
- \(4^{2} + 4^{4}\)
- \(\left(7^{2}\right)^{2}\)
- \(8^{3} \cdot 8^{2}\)
- \(\dfrac{4^{2}}{3^{2}}\)
- \(2^{4} \cdot 5^{2}\)
Exercice 7
Exercice
Ordonnez les nombres de chaque ligne par ordre croissant.
\[ 9^2,\quad 3^4,\quad (3^2)^3,\quad 3^2 \cdot 3^3,\quad 3^{(3^2)} \]
\[ 5^3 \cdot 5^7,\quad 5^5 \cdot 5^5,\quad (5^2)^5,\quad 25^5,\quad 5^{(8+2)} \]
\[ (2\cdot 5)^4,\quad 10^2 + 10^2,\quad (10^2)^3,\quad 10^{7} - 10^1 \]
\[ 8^4 \cdot 3^4,\quad \frac{8^8}{8^3},\quad 8^4 \cdot 8^4,\quad 24^4,\quad 8^7 \]
Exercice 8
Remplacez les lettres par des nombres de manière à ce que chacune des égalités suivantes soit vraie :
- \(2^4 \cdot 2^x = 128\)
- \(x^3 = 27\)
- \(7^2 \cdot 7^x = 343\)
- \(5^6 \cdot 5^x = 5^4\)
- \(x^2 \cdot x^3 = 1024\)
- \(a^y = 125\)
- \(\displaystyle \frac{6^5}{6^p} = 6^3\)
- \(\displaystyle \frac{b^4}{b^2} = 16\)
- \(2^3 \cdot 2^x = 2^5\)
- \(\displaystyle \frac{7^4}{7^2} = 7^k\)
- \(\left(4^x\right)^3 = 4096\)
- \(\left(5^2 \cdot 5^3\right)^x = 5^5\)
- \((-2)^x = -32\)
- \(\displaystyle \frac{(-3)^4}{(-3)^4} = x\)
Exercice 9
Question: \[ \begin{array}{rlrl} 3^{5} &= 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 & = 243 \\ 3^{4} &= 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 & = 81 \\ 3^{3} &= 3 \cdot 3 \cdot 3 & = 27 \\ \text{Complétez la suite en écrivant, par exemple, }3^{2},\ 3^{1}\ \text{et}\ 3^{0}\text{, en suivant le même format.} \end{array} \]
Exercice 10
Exercice : Puissances de 10 et déclin de la population bactérienne
Dans un bocal de laboratoire, on compte environ \(10^8\) bactéries, et chacune d’elles interagit avec environ \(10^3\) autres bactéries via des échanges nutritionnels.
Exprime le nombre total de bactéries dans le bocal sous forme d’une puissance de 10.
Exprime le nombre total d’interactions entre bactéries en utilisant une puissance de 10.
Après l’ajout d’un antiseptique, la population bactérienne diminue d’environ 1 000 bactéries par jour. Sachant qu’une année comporte 365 jours, combien d’années faudrait-il pour que la réserve initiale de bactéries disparaisse complètement ?
Exercice 11
Exercice
Complétez les égalités lorsque c’est possible.
- \(3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3\)
- \(64 = 4\)
- \(5^4 = 5 \quad 5 \quad 5 \quad 5\)
- \(7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7\)
- \(1 = 111\)
- \(0 = 4\)
Exercice 12
Effectuez les calculs suivants :
\(5^2 =\)
\(4^3 =\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^2 =\)
\(9^2 =\)
\((-6)^2 =\)
\((-2)^3 =\)
Exercice 13
Exercice
Pour chacune des égalités suivantes, déterminez si elle est correcte. Corrigez celles qui ne le sont pas.
\[2^5 \cdot 2^3 \stackrel{?}{=} 2^4 \cdot 2^4\]
\[4^3 \cdot 4^2 \stackrel{?}{=} 4^2 \cdot 2^4\]
\[7^2 \cdot 7^4 \stackrel{?}{=} (7^3)^2\]
\[2^3 \cdot 2^3 \stackrel{?}{=} 8^2\]
\[(5^2)^3 \quad \stackrel{?}{=} 5^2 \cdot 5^3\]
\[3^2 + 3^3 \stackrel{?}{=} 3^5\]
\[16^2 \cdot 16 \stackrel{?}{=} 2^{12}\]
\[\frac{8^3}{8} \stackrel{?}{=} 2^3\]
\[625^2 \stackrel{?}{=} 5^8\]
\[6^2 + 2^2 \stackrel{?}{=} 8^2\]
Exercice 14
Calcule ou complète les expressions suivantes :
\(\frac{3^4}{2} =\)
\(\left(\frac{3}{2}\right)^4 =\)
\(10^5 = 10^3 +\)
\(10^5 \cdot 10 = 10^8\)
\((-9)^2 =\)
\(-8^2 =\)
\((-4)^3 =\)
\(-4^3 =\)
Exercice 15
Complétez chacune des égalités suivantes en inscrivant le symbole ou le nombre manquant :
\(4 \quad ? \quad = 64\)
\(9^{\, ?} \quad 9 = 81\)
\(2 \times 3 \quad ? \quad = 36\)
\(-7 \quad ? \quad = 1\)
\(3 \times 3^{4} \quad ? \quad = 3^{6}\)
\(3^{3} - 3 \quad ? \quad = 3^{2} + 15\)
\(\dfrac{7^{3}}{7} \quad ? \quad = 49\)
\(3 \quad ? \quad 3 = 81\)
\(5^{6} \quad ? \quad 5 = 5^{5}\)
\(16 \quad ? \quad = 2^{8}\)
Exercice 16
Exercice
Nous avons vu que l’opération \[ 1000 \times 10 = 10^3 \times 10^1 = 10^{3+1} = 10^4 = 10000. \] Procédez de la même manière pour déterminer le résultat des opérations suivantes :
\(100 \times 100\)
\(10000 \times 10\)
\(1000 \times 0,1\)
\(100 \times 0,1\)
\(0,1 \times 0,1\)
\(0,01 \times 10 \times 0,1\)
\(0,1^3\)
\(0,1 \div 10\)
\(10000 \div 0,1\)
\(10 \div 100\)
Vous trouverez ci-dessous un tableau récapitulatif de quelques puissances de dix avec leur écriture en notation décimale et leur nom :
| Puissance | Nombre | Nom |
|---|---|---|
| \(\ldots\) | ||
| \(10^{24}\) | quadrillion | |
| \(10^{21}\) | trillard | |
| \(10^{18}\) | 1000000000000000000 | trillion |
| \(10^{15}\) | 1000000000000000 | billiard |
| \(10^{12}\) | 1000000000000 | billion |
| \(10^{9}\) | 1000000000 | milliard |
| \(10^{6}\) | 1000000 | million |
| \(10^{3}\) | 1000 | mille |
| \(10^{2}\) | 100 | cent |
| \(10^{1}\) | 10 | dix |
| \(10^{0}\) | 1 | un |
| \(10^{-1}\) | 0,1 | dixième |
| \(10^{-2}\) | 0,01 | centième |
| \(10^{-3}\) | 0,001 | millième |
| \(10^{-6}\) | 0,000001 | millionième |
| \(10^{-9}\) | 0,000000001 | milliardième |
| \(10^{-12}\) | 0,000000000001 | billionième |
| \(10^{-15}\) | 0,000000000000001 | billiardième |
| \(10^{-18}\) | 0,000000000000000001 | trillionième |
| \(10^{-21}\) | trilliardième | |
| \(10^{-24}\) | quadrillionième | |
| \(\ldots\) |
Exercice 17
Exercice :
Calculer les expressions suivantes :
- \(3^2\)
- \(6^2\)
- \(12^2\)
- \(2^4\)
- \(5^3\)
- \(3^3\)
- \(1^7\)
- \(7^1\)
- \(5^2\)
- \(2^5\)
- \(8^2\)
- \(11^2\)
Exercice 18
Calculer les expressions suivantes :
- \(30^2\)
- \(10^4\)
- \(4^3\)
- \(40^2\)
- \(20^2\)
- \(100^2\)
- \(3^4\)
- \(2^5\)
- \(5^2\)
- \(50^2\)
- \(6^2\)
- \(2^6\)
Exercice 19
Calculer les expressions suivantes :
- \(600^2\)
- \(30^3\)
- \(40^3\)
- \(10^5\)
- \(20^5\)
- \(90^2\)
- \(20^2\)
- \(500^2\)
- \(80^2\)
- \(40^1\)
Exercice 20
Exercice
Calculer les expressions suivantes :
- \[ 8^2 \]
- \[ 80^2 \]
- \[ (0,8)^2 \]
- \[ 800^2 \]
- \[ 6^2 \]
- \[ 600^2 \]
- \[ (0,06)^2 \]
- \[ (0,6)^2 \]
Exercice 21
Exercice :
Calculer les expressions suivantes :
- \(0,2^{2}\)
- \(0,02^{2}\)
- \(0,2^{3}\)
- \(0,02^{3}\)
- \(0,01^{2}\)
- \(0,001^{2}\)
- \(0,01^{3}\)
- \(0,001^{3}\)
Exercice 22
Exercice :
Calculer les expressions suivantes :
- \(0,1^4\)
- \(12^2\)
- \(0,8^2\)
- \(30^2\)
- \(900^2\)
- \(0,03^3\)
- \(70^2\)
- \(0,001^3\)
Exercice 23
Exercice
Calculer la valeur de \(\mathrm{a}^2\) pour chacune des valeurs suivantes : 1. \(a = 10\) 2. \(a = 7\) 3. \(a = 2\) 4. \(a = 5\) 5. \(a = 12\)
Exercice 24
latex Calculer la valeur de \(2a^2\) pour les valeurs de \(a\) suivantes :
- \(a = 4\)
- \(a = 1\)
- \(a = 0\)
- \(a = 5\)
- \(a = 3\)
- \(a = 6\)
Exercice 25
Exercice
Calculer :
- \(10^{4}\)
- \(10^{0}\)
- \(10^{6}\)
- \(10^{2}\)
- \(10^{1}\)
- \(10^{3}\)
Exercice 26
Soit les calculs suivants à effectuer :
Calculer \(20^2\) et \(2^2 \cdot 10^2\).
Calculer \(600^2\) et \(6^2 \cdot 100^2\).
Calculer \(0,3^2\) et \(3^2 \cdot 0,1^2\).
Calculer \(70^2\) et \(7^2 \cdot 10^2\).
Calculer \(0,8^2\) et \(8^2 \cdot 0,1^2\).
Calculer \(20^4\) et \(2^4 \cdot 10^4\).
Exercice 27
Exercice :
Calculer les expressions suivantes :
- \(10^{3} \cdot 100\)
- \(1000 \cdot 10^{2}\)
- \(10^{2} \cdot 10^{3}\)
- \(10^{1} \cdot 1000\)
- \(10 \cdot 10^{3}\)
- \(10^{1} \cdot 10^{3}\)
Exercice 28
Complétez par l’exposant manquant :
\(10^{4} \cdot 10^{3} = 10^{\cdots}\)
\(10 \cdot 10^{5} = 10^{\cdots}\)
\(10^{2} \cdot 10^{0} = 10^{\cdots}\)
\(10^{\cdots} \cdot 10^{3} = 10^{5}\)
\(10^{2} \cdot 10^{\cdots} = 10^{5}\)
\(10 \cdot 10^{\cdots} = 10\)
Exercice 29
Complétez les exposants manquants :
- \(5^{7} \times 5^{3} = 5^{\cdots}\)
- \(7^{3} \times 7^{5} = 7^{\cdots}\)
- \(3^{4} \times 3^{5} = 3^{\cdots}\)
- \(2^{8} \times 2^{3} = 2^{\cdots}\)
- \(6^{2} \times 6^{\cdots} = 6^{7}\)
- \(3^{4} \times 3^{\cdots} = 3^{8}\)
- \(2^{5} \times 2^{0} = 2^{\cdots}\)
- \(9^{3} \times 9 = 9^{\cdots}\)
- \(4^{7} \times 4^{\cdots} = 4^{8}\)
Exercice 30
Exercice
Complétez les exposants manquants :
- \(3^{6} \cdot 3^{\cdots} = 3^{8}\)
- \(2^{6} \cdot 2^{4} = 2^{\cdots}\)
- \(7^{\cdots} \cdot 7^{2} = 7^{2}\)
- \(8^{3} \cdot 8^{\cdots} = 8^{7}\)
- \(6^{\cdots} \cdot 6^{2} = 6^{3}\)
- \(2^{4} \cdot 2 = 2^{\cdots}\)
- \(6^{2} \cdot 6^{\cdots} = 6^{6}\)
- \(4^{4} \cdot 4 = 4\)
- \(3^{2} \cdot 3^{\cdots} \cdot 3^{4} = 3^{7}\)
Exercice 31
Complétez les expressions suivantes en indiquant les exposants manquants :
\(3^2 \cdot 3^4 \cdot 3^1 = 3^{\ldots}\)
\(2^2 \cdot 3^4 \cdot 2^3 \cdot 3^4 = 2^{\ldots} \cdot 3^{\ldots}\)
\(4^2 \cdot 5^3 \cdot 4^4 = 4^{\ldots} \cdot 5^{\ldots}\)
\(3^2 \cdot 3^5 \cdot 2^{\ldots} \cdot 3^{\ldots} = 2^6 \cdot 3^9\)
\(3^2 \cdot 3^{\ldots} \cdot 2^4 \cdot 2^{\ldots} = 2^7 \cdot 3^5\)
\(2^{\ldots} \cdot 3^{\ldots} \cdot 2^4 \cdot 3^3 = 2^4 \cdot 3^5\)
\(7^3 \cdot 3^4 \cdot 3^{\ldots} \cdot 7^{\ldots} = 3^6 \cdot 7^9\)
\(2^7 \cdot 2^{\ldots} \cdot 3^4 \cdot 3^{\ldots} = 2^7 \cdot 3^4\)
Exercice 32
Exercice : Complétez par l’exposant manquant
- \(a^{3} \cdot a^{5} = a^{\underline{\quad}}\)
- \(x^{5} \cdot x = x^{\underline{\quad}}\)
- \(a^{4} \cdot a^{3} = a^{\underline{\quad}}\)
- \(x^{3} \cdot x^{0} = x^{\underline{\quad}}\)
- \(b^{2} \cdot b^{2} = b^{\underline{\quad}}\)
- \(x^{3} \cdot x = x^{\underline{\quad}}\)
- \(a^{3} \cdot a^{\underline{\quad}} = a^{5}\)
- \(x^{2} \cdot x^{\underline{\quad}} = x^{2}\)
- \(b \cdot b = b^{\underline{\quad}}\)
Exercice 33
Exercice : Complétez les expressions suivantes en trouvant l’exposant manquant.
\(x \cdot x^{2} \cdot x^{3} = x^{\cdots}\)
\(y^{3} \cdot y^{\cdots} = y^{4}\)
\(x^{5} \cdot x^{\cdots} = x^{9}\)
\(a^{4} \cdot a^{\cdots} \cdot a^{3} = a^{9}\)
\(y \cdot y^{3} \cdot y^{2} \cdot y^{0} = y^{\cdots}\)
\(a^{3} \cdot b^{2} \cdot a^{4} \cdot a^{2} = a^{\cdots} \cdot b^{\cdots}\)
\(a^{5} \cdot b^{\cdots} \cdot a^{\cdots} \cdot b^{2} = a^{8} \cdot b^{5}\)
\(x^{5} \cdot y^{\cdots} \cdot y^{4} \cdot x^{\cdots} = x^{6} \cdot y^{4}\)
Exercice 34
Exercice : Complétez les expressions suivantes en appliquant les règles de multiplication des puissances pour une même base :
\(a^5 \cdot a^7 = a^{\underline{\quad}}\)
\(x \cdot y^3 \cdot x^4 \cdot y^2 = x^{\underline{\quad}} \cdot y^{\underline{\quad}}\)
\(x^7 \cdot x^{\underline{\quad}} = x^{12}\)
\(x^2 \cdot y^3 \cdot x^{\underline{\quad}} = x^3 \cdot y^{\underline{\quad}}\)
\(y^4 \cdot x^7 \cdot x^{\underline{\quad}} \cdot y^2 = x^9 \cdot y^{\underline{\quad}}\)
\(x \cdot x^6 = x^{\underline{\quad}}\)
Exercice 35
Exercice
Calculez les expressions suivantes :
- \(7^{2}\)
- \(12^{3}\)
- \(10^{7}\)
- \(0,1^{3}\)
- \(0,4^{3}\)
- \(0,2^{3}\)
- \(1^{1326}\)
- \(1326^{1}\)
- \(2^{7}\)
- \(5^{3}\)
Exercice 36
Exercice : Ordonnez les nombres suivants par ordre décroissant.
\(\;2^{3}, \;2^{5}, \;2^{1}, \;2^{7}, \;2^{6}, \;2^{4}, \;2^{2}\)
\(\;6^{5}, \;3^{5}, \;5^{5}, \;1^{5}, \;7^{5}, \;4^{5}\)
\(\;2^{3}, \;3^{2}, \;1^{12}, \;10^{3}, \;3^{3}\)
\(\;2^{6}, \;4^{2}, \;8^{4}, \;4^{1}, \;2^{3}, \;5^{2}, \;10^{5}\)
Exercice 37
Calculer les expressions suivantes :
- \(3^3 \times 5^3\) et \(15^3\)
- \(8^2 \times 9^2\) et \(72^2\)
- \(7^3 \times 3^3\) et \(21^3\)
- \(4^2 \times 9^2\) et \(36^2\)
- \(12^2 \times 8^2\) et \(96^2\)
- \(4^2 \times 8^2\) et \(32^2\)
Exercice 38
Exercice
Calculer les expressions suivantes :
- \(\, 2^2 \times 2^4 - 2^3 \,\)
- \(\, 2^3 \times 2^4 + 2^2 \,\)
- \(\, (2^2)^2 + 2^4 \,\)
- \(\, (2^2 + 2^4) \times 2^3 \,\)
- \(\, (2^2 + 2^4)^2 \,\)
- \(\, (2^2 \times 2^4)^2 - 2^2 \times 2^4 \,\)
Exercice 39
Exercice
Examinez le chiffre des unités des nombres suivants et déduisez lesquels ne peuvent pas être le carré d’un entier :
- \(3364\)
- \(768\)
- \(3242\)
- \(397\)
- \(3721\)
- \(6850\)
- \(4225\)
- \(676\)
- \(1433\)
- \(4252\)
Exercice 40
Exercice : Compléter les exposants manquants
Complétez les exposants dans les expressions suivantes :
\[ a^{6} \cdot b^{5} \cdot a^{4} \cdot b^{4} \cdot c^{3} \cdot a^{2} = a^{\cdots} \cdot b^{\cdots} \cdot c^{\cdots} \]
\[ a^{4} \cdot b^{3} \cdot c^{2} \cdot c^{4} \cdot b^{3} \cdot a^{4} = a^{\cdots} \cdot b^{\cdots} \cdot c^{\cdots} \]
\[ x^{5} \cdot y^{4} \cdot z \cdot x \cdot y^{2} \cdot z^{3} = x^{\cdots} \cdot y^{\cdots} \cdot z^{\cdots} \]
\[ x^{2} \cdot y^{3} \cdot z \cdot x^{3} \cdot y^{2} \cdot z = x^{\cdots} \cdot y^{\cdots} \cdot z^{\cdots} \]
\[ a^{3} \cdot b^{2} \cdot c^{3} \cdot b \cdot c^{2} \cdot a^{4} \cdot b^{3} = a^{\cdots} \cdot b^{\cdots} \cdot c^{\cdots} \]
Exercice 41
Exercice : Compléter en indiquant les exposants manquants
\[ x^{3} \cdot x^{2} \cdot x^{5} \cdot y^{3} \cdot x^{3} \cdot y^{5} = x^{\cdots} \cdot y^{\cdots} \]
\[ a^{7} \cdot b^{3} \cdot c \cdot a^{2} \cdot c \cdot b^{4} = a^{\cdots} \cdot b^{\cdots} \cdot c^{\cdots} \]
\[ x^{3} \cdot y \cdot z^{0} \cdot x^{2} \cdot x^{4} \cdot y^{2} = x^{\cdots} \cdot y^{\cdots} \cdot z^{\cdots} \]
\[ a^{5} \cdot b^{3} \cdot b^{\cdots} \cdot a^{4} = a^{\cdots} \cdot b^{6} \]
\[ x^{4} \cdot y^{3} \cdot z \cdot x^{\cdots} \cdot y \cdot z^{0} = x^{6} \cdot y^{\cdots} \cdot z^{\cdots} \]
Exercice 42
Exercice : Complétez les opérations suivantes en déterminant les exposants manquants.
\[ x^{3} \cdot y^{2} \cdot x^{5} \cdot y^{3} \cdot y = x^{\cdots} \cdot y^{\cdots} \]
\[ a^{3} \cdot b \cdot c^{4} \cdot a^{0} \cdot b^{2} \cdot a \cdot c^{3} = a^{\cdots} \cdot b^{\cdots} \cdot c^{\cdots} \]
\[ a^{5} \cdot b^{3} \cdot a^{\cdots} \cdot b^{2} \cdot b^{\cdots} \cdot a^{4} = a^{12} \cdot b^{6} \]
\[ a^{3} \cdot b^{2} \cdot a^{\cdots} \cdot b^{3} \cdot b \cdot a^{5} = a^{10} \cdot b^{\cdots} \]
\[ y^{2} \cdot y \cdot x^{3} \cdot x^{\cdots} \cdot y^{\cdots} \cdot x^{2} \cdot y^{4} = x^{5} \cdot y^{10} \]
Exercice 43
La notation \(\mathbf{G}^{\mathbf{H}}\) indique que le nombre placé à gauche est élevé à la puissance indiquée par le nombre placé en haut. Complétez les tableaux suivants :
| H | ||
|---|---|---|
| \(\mathrm{G}^{\mathrm{H}}\) | 2 | 3 |
| 6 | ||
| 3 |
| \(\mathrm{G}^{\mathrm{H}}\) | 1 | |
|---|---|---|
| 4 | 16 | |
| 5 |
| \(\mathrm{G}^{\mathrm{H}}\) | ||
|---|---|---|
| 3 | 81 | |
| 2 | 32 |
Exercice 44
\(\mathbf{G}^{2} + \mathbf{H}^{2}\) correspond au calcul du carré du nombre situé à gauche et du carré du nombre situé en haut, puis à l’addition de ces deux carrés.
Recopiez et complétez le tableau suivant :
| \(\mathbf{G}^{2}+\mathbf{H}^{2}\) | 6 | 8 |
|---|---|---|
| 3 | ||
| \(\mathbf{G}\) | ||
| 5 |
Exercice 45
Exercice : Compléter les tableaux
On considère que
\[
\mathbf{G}^{2} \cdot \mathbf{H}
\] correspond au carré de la valeur donnée par \(\mathrm{G}\) multiplié par la valeur donnée par \(\mathrm{H}\).
Recopie et complète les tableaux suivants :
Tableau 1 :
| H | ||
|---|---|---|
| \(\mathrm{G}^{2} \cdot \mathrm{H}\) | 2 | 5 |
| G | ||
| 1 |
Tableau 2 :
| 5 | ||
|---|---|---|
| 3 | ||
| 7 | 98 |
Tableau 3 :
| 4 | 10 | |
|---|---|---|
| 2 | ||
| 36 |
Exercice 46
Exercice
Recopie cet exercice dans ton cahier, puis complète avec le symbole approprié (\(<\) ou \(>\)) :
\(0,5 \quad \ldots \quad (0,5)^2\)
\(0,9 \quad \ldots \quad \sqrt{0,9}\)
\(1,2 \quad \ldots \quad (1,2)^2\)
\(\sqrt{0,36} \quad \ldots \quad (0,36)^2\)
\((1,2)^2 \quad \ldots \quad (1,2)^3\)
\((0,04)^2 \quad \ldots \quad \sqrt{0,04}\)
\((0,6)^3 \quad \ldots \quad (0,6)^2\)
\((0,02)^2 \quad \ldots \quad \sqrt{0,0009}\)
Exercice 47
Exercice
Calculer la valeur de l’expression \[
\sqrt{a^3} + 2\left(\sqrt{a}\right)^3
\] pour chacune des valeurs suivantes de \(a\) :
1) \(a = 4\)
2) \(a = 0,09\)
3) \(a = 1,44\)
4) \(a = 9\)
5) \(a = 5^2\)
Exercice 48
Exercice
Retrouve le nombre manquant dans chacune des équations suivantes :
- \(3^{\cdots} \cdot 5^4 = 625\)
- \(2^3 \cdot \cdots = 72\)
- \(3 + 5^{\cdots} = 28\)
- \(4^2 \cdot 3 + \cdots = 54\)
- \(7 \cdot 2^5 - 3^{\cdots} = 215\)
Exercice 49
Exercice : Retrouver la puissance manquante
\(3^{2} \times \,?\, = 72\)
\(5^{3} - \,?\, = 109\)
\(3 \times 2^{4} + \,?\, = 73\)
Exercice 50
Retrouvez le nombre manquant dans chacune des équations suivantes :
- \(2^4 \cdot \square^2 = 64\)
- \(3^4 - \square^2 = 56\)
- \(5^3 - \square^2 = 4\)
- \(3^3 \cdot \square^2 + 1^{10} = 1\)
- \(\dfrac{9^2}{\square^3} + 4 = 7\)
Exercice 51
Calculer les puissances de 10 suivantes :
- \(10^{-2}\)
- \(10^{-1}\)
- \(10^{-4}\)
- \(10^{0}\)
- \(10^{-3}\)
- \(10^{-6}\)
Exercice 52
Calculer les expressions suivantes :
- \((-3)^2\)
- \((+2)^5\)
- \((+9)^2\)
- \((-3)^3\)
- \((-1)^2\)
- \((+3)^3\)
- \((-3)^4\)
- \((-3)^5\)
Exercice 53
Calculer les expressions suivantes :
- \((+3)^2\)
- \((-1)^2\)
- \((+4)^2\)
- \((-5)^3\)
- \((-1)^7\)
- \((+1)^4\)
- \((-1)^{1235}\)
- \((-1)^{2344}\)
Exercice 54
Exercice
Calculer les puissances suivantes :
- \((-4)^2\)
- \((+2)^2\)
- \(0^3\)
- \((-1)^{73}\)
- \((-5)^2\)
- \((+7)^2\)
- \((-1)^{127}\)
- \((+1)^{127}\)
Exercice 55
Calculer \(5a^2b^3\) pour les valeurs suivantes :
- \(a = +11\), \(b = -2\)
- \(a = +6\), \(b = -4\)
- \(a = -10\), \(b = -1\)
- \(a = -4\), \(b = +5\)
- \(a = -9\), \(b = +3\)
- \(a = -5\), \(b = +2\)
Exercice 56
Calculer \(a^2 b^3\) pour chacune des situations suivantes :
\(a = -1\) et \(b = 2\)
\(a = 0\) et \(b = 1\)
\(a = -5\) et \(b = 1\)
\(a = -5\) et \(b = 11\)
\(a = -5\) et \(b = 1\)
\(a = 9\) et \(b = 0\)
Exercice 57
Exercice
Calculer les expressions suivantes :
\[ (-2)^2 \cdot (+1)^3 \cdot (-3)^3 \]
\[ (-1)^{17} \cdot (+1)^3 \cdot (+1)^{16} \]
\[ (-5)^2 \cdot (+2)^3 \cdot (+7)^2 \]
\[ (-1)^7 \cdot 0 \cdot (+15)^3 \]
\[ (-4)^2 \cdot (-2) \cdot (-1)^5 \]
\[ (+1)^{167} \cdot (+167)^1 \]
Exercice 58
Calculer les expressions suivantes :
\[ (-2)^3 + (-1)^5 + (+3)^2 \]
\[ (-1)^3 + (+3)^2 - (-6)^2 \]
\[ (+7)^2 - (-1)^7 - (-3)^2 \]
\[ (-1)^2 - (+1)^3 + (-1)^7 \]
\[ (-1)^6 - (-1)^8 \]
Exercice 59
Calculer les expressions suivantes :
\[ (-3)^3 \cdot (+2)^2 - (+1)^5 \]
\[ 0^6 \cdot (+3)^2 + (-4)^3 \]
\[ (-7)^2 \cdot (+1)^7 - (-5)^2 \]
\[ (-3)^2 \cdot (-2)^4 - (-5) \cdot (+2)^2 \]
\[ (-3) \cdot (+4)^2 - (+2) \cdot (-5) + (-2)^2 \]
\[ (-3)^2 - (-5) \cdot (+7)^7 + (-2)^5 \]
Exercice 60
Exercice : Calculer les expressions suivantes
- \[3^2 - 5^2 \cdot (-1)^3\]
- \[(-4)^2 \cdot 3 - (-2)^3\]
- \[(-2)^3 \cdot 3^2 + (-1)^5 \cdot (-5)^2\]
- \[(3-5)^3 \cdot 4^2\]
- \[(1-2)^4 - (-5)^2 \cdot 2\]
- \[7^2 + (-3)^3 \cdot 2\]
Exercice 61
Exercice
Calculer les expressions suivantes :
\((-1)^{5} - (-2)^{4} + (-3)^{3} + (+4)^{2} - (-5)\).
\((-3)^{3} + (-2) \cdot \left[ (-1)^{5} + (+3) \right] - (-2)^{3} \cdot (-2)\).
\((+4)^{2} \cdot (-1)^{2} + (-2)^{3} \cdot (+3)\).
\((+4)^{2} \cdot \left[ (-1)^{2} + (-2)^{3} \right] \cdot (+3)\).
\(-(-1)^{3} \cdot (+2)^{2} + (+1)^{2} \cdot (+11)^{2}\).
\((-1)^{5} \cdot (+2)^{3} \cdot (-3)^{2} - (-3)^{3} + (-1) \cdot (+4)^{2}\).
\((-3)^{2} \cdot (+2) - (-6)^{2} - (-1)^{7} \cdot (+2) + (-3)^{2}\).
Exercice 62
Exercice
Calculer :
\(\dfrac{(+3)^{3}}{(-3)^{2}} - (-5+7)^{3} \cdot (-1)^{4}\)
\(\left[(+4) + (-5)\right]^{2} \cdot 2^{2}\)
\(\left[(+4)^{2} + (-5)^{2}\right] \cdot 2^{2}\)
\(\dfrac{\left[(-2)^{4} + (+2)^{3} + (+5)^{3} - (-10)^{3}\right]}{(-3)}\)
Exercice 63
Exercice
Calculer la valeur de \(a^{b}\) dans les cas suivants :
- \(a = -3\) et \(b = 4\)
- \(a = -5\) et \(b = 2\)
- \(a = -2\) et \(b = 6\)
- \(a = 0\) et \(b = 7\)
- \(a = -1\) et \(b = 0\)
- \(a = 4\) et \(b = 3\)
Exercice 64
Calculer la valeur de \[ a^b + a \] dans les cas suivants :
- \(a = -3\) et \(b = 3\)
- \(a = -1\) et \(b = 7\)
- \(a = -7\) et \(b = 2\)
- \(a = -2\) et \(b = 5\)
- \(a = +2\) et \(b = 5\)
- \(a = -1\) et \(b = 3\)
Exercice 65
Calculer la valeur de \[ a^b + c^d \] pour les cas suivants :
\(\, a = 3, \, b = 3, \, c = -5, \, d = 2\).
\(\, a = 6, \, b = 0, \, c = -5, \, d = 2\).
\(\, a = -1, \, b = 17, \, c = -1, \, d = 3\).
Exercice 66
Exercice :
Trouver la valeur de \(x\) dans chacune des équations suivantes :
\[ (-2)^2 \cdot (-2) = x \]
\[ (-2)^3 \cdot x = 48 \]
\[ (-2)^2 \cdot x = -12 \]
\[ (-2)^x \cdot (+5) = 20 \]
\[ (-3)^x \cdot (-3)^2 = 81 \]
\[ (-3)^x \cdot (-1)^4 = -27 \]
\[ (-3)^x \cdot (+3) = -81 \]
\[ (-5)^x \cdot (-1)^7 = -25 \]
Exercice 67
Exercice
Trouver la valeur de \(x\) dans chacun des cas suivants :
- \(x^3 \cdot (+5)^2 = -25\)
- \((-3)^3 \cdot x^3 = -216\)
- \((-3)^3 \cdot x^2 = -108\)
- \((-2)^5 \cdot (-3)^x = 96\)
- \((-5)^4 \cdot (-4)^x = 625\)
- \((-3)^x \cdot (-2)^2 = -108\)
Exercice 68
Exercice
Pour chaque équation ci-dessous, déterminer le ou les nombre(s) \(x\) qui la/vérifient, lorsque c’est possible :
- \(x^{2} = 9\)
- \(x^{2} = 81\)
- \(x^{3} = -125\)
- \(x^{2} = -16\)
- \(x^{2} - 25 = 0\)
- \(x^{2} - 16 = 0\)
- \(x^{2} + 25 = 0\)
- \(x^{3} + 27 = 0\)
- \(x^{4} + 16 = 0\)
Exercice 69
Exercice
Pour chacune des équations suivantes, déterminer le ou les nombres \(x\) tels que l’équation soit vérifiée :
\[ (-3)^x - 2 = -29 \]
\[ 4^x - 7 = 9 \]
\[ (-5)^3 - (-3)^x = -98 \]
\[ 7^2 - (-5)^x = 14 \]
\[ (-5 + 8)^x = 81 \]
\[ (9 - 11)^x = -32 \]
\[ (-4 - 5)^x = -729 \]
\[ (2 - (-7))^x = 81 \]
Exercice 70
Exercice
Trouver, lorsqu’il est possible, le ou les nombres \(x\) vérifiant les équations suivantes :
- \(x^3 - 5^2 = 2\)
- \(x^3 - 4^3 = -72\)
- \((-11)^2 - x^2 = 21\)
- \(8^3 - x^5 = 269\)
- \((-5)^2 + x^5 = -218\)
- \((x - 5)^3 = 64\)
- \((7 - x)^2 = 81\)
- \((-8 - x)^3 = -27\)
Exercice 71
Calculer les puissances suivantes :
- \(\left(\frac{2}{3}\right)^2\)
- \(\left(\frac{1}{2}\right)^3\)
- \(\left(\frac{6}{7}\right)^2\)
- \(\left(\frac{9}{5}\right)^2\)
- \(\left(\frac{3}{2}\right)^3\)
- \(\left(\frac{5}{6}\right)^2\)
- \(\left(\frac{3}{10}\right)^3\)
- \(\left(\frac{2}{7}\right)^2\)
Exercice 72
Calculer :
- \(\left(\frac{3}{2}\right)^2\)
- \(\left(\frac{3}{4}\right)^2\)
- \(\left(\frac{7}{3}\right)^2\)
- \(\left(\frac{4}{5}\right)^2\)
- \(\left(\frac{2}{5}\right)^2\)
- \(\left(\frac{1}{10}\right)^2\)
- \(\left(\frac{11}{7}\right)^2\)
- \(\left(\frac{7}{9}\right)^2\)
Exercice 73
Exercice
Calculer les expressions suivantes :
- \(\left(\frac{2}{3}\right)^4\)
- \(\left(\frac{1}{10}\right)^3\)
- \(\left(\frac{2}{5}\right)^4\)
- \(\left(\frac{1}{6}\right)^3\)
- \(\left(\frac{5}{4}\right)^3\)
- \(\left(\frac{10}{3}\right)^3\)
- \(\left(\frac{4}{3}\right)^3\)
- \(\left(\frac{3}{5}\right)^5\)
Exercice 74
Exercice
Calculer la valeur de \(a^3b^2\) dans chacun des cas suivants :
- \(a = \frac{4}{5}\) et \(b = -5\).
- \(a = -\frac{3}{4}\) et \(b = 0\).
- \(a = -\frac{1}{3}\) et \(b = -\frac{1}{4}\).
- \(a = 2\) et \(b = -\frac{5}{2}\).
Exercice 75
Calculer les expressions suivantes :
- \(a \cdot a \cdot a\)
- \(a \cdot \left(a^{2}\right)\)
- \(\left(3 x^{2}\right) \cdot x\)
- \(x^{2} \cdot (5 x)\)
- \(a \cdot 4a^{2}\)
Exercice 76
Exercice
On considère une balle qui rebondit à 25 % de la hauteur atteinte après chaque chute. Lors de son troisième rebond, la balle atteint une hauteur de 16 cm. Déterminez la hauteur du balcon à partir duquel la balle a été lâchée.
Exercice 77
Exercice
Considérez le cube ci-dessous. Chaque arête a été divisée en deux segments égaux, de sorte que le cube est décomposé en plusieurs petits cubes.
Déterminez le nombre total de ces petits cubes.
Complétez le tableau suivant :
| Si l’arête est divisée en | Le carré de base est découpé en | Le cube initial est découpé en |
|---|---|---|
| 3 segments égaux | \(\ldots\) carrés de même arête | \(\ldots\) cubes de même arête |
| 4 segments égaux | \(\ldots\) carrés de même arête | \(\ldots\) cubes de même arête |
| 5 segments égaux | \(\ldots\) carrés de même arête | \(\ldots\) cubes de même arête |
| 10 segments égaux | \(\ldots\) carrés de même arête | \(\ldots\) cubes de même arête |
