Exercice 150

Exercice

Le lait contient en moyenne \(16 \%\) de crème par rapport à son poids. De plus, la crème fournit \(32 \%\) de son poids en beurre.

1. En supposant qu’un litre de lait pèse 1 kg, calculez le nombre de kilogrammes de beurre pouvant être obtenus à partir de 300 litres de lait.
2. Déterminez la quantité de lait (en litres) nécessaire pour obtenir 8000 kg de beurre.

Réponse

1. 300 litres de lait donnent 15,36 kg de beurre.
   
2. Pour obtenir 8000 kg de beurre, il faut 156250 litres de lait.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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Énoncé du problème

Le lait contient en moyenne \(16\%\) de crème par rapport à son poids. De plus, la crème fournit \(32\%\) de son poids en beurre.

1. En supposant qu’un litre de lait pèse \(1\,\text{kg}\), calculez le nombre de kilogrammes de beurre pouvant être obtenus à partir de \(300\) litres de lait.
2. Déterminez la quantité de lait (en litres) nécessaire pour obtenir \(8000\,\text{kg}\) de beurre.

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Partie 1 : Calcul du beurre obtenu à partir de 300 litres de lait

Étape 1 : Conversion du lait en masse

On sait qu’un litre de lait pèse \(1\,\text{kg}\).
Donc, \(300\) litres de lait pèsent : \[ 300\,\text{kg} \]

Étape 2 : Calcul de la quantité de crème extraite

Le lait contient \(16\%\) de crème.
La masse de crème obtenue est : \[ \text{Crème} = 16\% \times 300\,\text{kg} = 0.16 \times 300\,\text{kg} = 48\,\text{kg} \]

Étape 3 : Calcul de la quantité de beurre obtenue

La crème fournit \(32\%\) de son poids en beurre.
La masse de beurre issue de \(48\,\text{kg}\) de crème est : \[ \text{Beurre} = 32\% \times 48\,\text{kg} = 0.32 \times 48\,\text{kg} = 15.36\,\text{kg} \]

Donc, à partir de 300 litres de lait, on obtient \(15.36\,\text{kg}\) de beurre.

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Partie 2 : Quantité de lait nécessaire pour obtenir 8000 kg de beurre

Étape 1 : Déterminer le rendement en beurre par kilogramme de lait

Pour \(1\,\text{kg}\) de lait : - On obtient \(16\%\) de crème, soit : \[ \text{Crème} = 0.16\,\text{kg} \] - Puis, à partir de cette crème, on obtient \(32\%\) en beurre : \[ \text{Beurre} = 0.32 \times 0.16\,\text{kg} = 0.0512\,\text{kg} \]

Cela signifie que chaque litre (ou kg) de lait permet de produire \(0.0512\,\text{kg}\) de beurre.

Étape 2 : Calcul du nombre de litres de lait nécessaires

On souhaite obtenir \(8000\,\text{kg}\) de beurre.
Le nombre de litres de lait requis est donc : \[ \text{Lait nécessaire} = \frac{8000\,\text{kg}}{0.0512\,\text{kg/litre}} \]

Calculons : \[ \frac{8000}{0.0512} = 156250\,\text{litres} \]

Ainsi, il faut \(156250\) litres de lait pour obtenir \(8000\,\text{kg}\) de beurre.

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Conclusion

1. À partir de 300 litres de lait, on obtient 15.36 kg de beurre.
2. Pour obtenir 8000 kg de beurre, il faut environ 156250 litres de lait.