Claire dispose de 50 000 francs. Elle investit les trois quarts de sa fortune au taux de \(3,5\%\) et le reste au taux de \(5\%\). Quel taux d’intérêt annuel équivalent permettrait d’obtenir le même montant d’intérêts sur la totalité du capital ?
Le taux d’intérêt équivalent est de 3,875 %.
Nous voulons déterminer un taux d’intérêt annuel unique \(r\) (en pourcentage) qui, appliqué à l’ensemble des 50 000 francs, donnerait le même montant d’intérêts que l’investissement réparti.
Claire dispose de 50 000 francs et investit : - Les trois quarts de sa fortune au taux de \(3,5\%\). - Le reste au taux de \(5\%\).
Le montant investi à \(3,5\%\) est \[ \frac{3}{4} \times 50\,000 = 37\,500 \text{ francs}. \] Le montant investi à \(5\%\) est \[ 50\,000 - 37\,500 = 12\,500 \text{ francs}. \]
Intérêts sur le placement à \(3,5\%\) :
Le calcul se fait ainsi : \[ \text{Intérêts}_1 = 37\,500 \times \frac{3,5}{100} = 37\,500 \times 0,035 = 1\,312,5 \text{ francs}. \]
Intérêts sur le placement à \(5\%\) :
Le calcul est le suivant : \[ \text{Intérêts}_2 = 12\,500 \times \frac{5}{100} = 12\,500 \times 0,05 = 625 \text{ francs}. \]
En additionnant les intérêts obtenus sur chaque placement, nous avons : \[ \text{Intérêts totaux} = 1\,312,5 + 625 = 1\,937,5 \text{ francs}. \]
Nous cherchons un taux \(r\) tel que l’intérêt sur l’ensemble des 50 000 francs soit égal à 1 937,5 francs. Cela donne l’équation : \[ 50\,000 \times \frac{r}{100} = 1\,937,5. \]
Pour trouver \(r\), procédons comme suit :
Divisons chaque côté de l’équation par 50 000 : \[ \frac{r}{100} = \frac{1\,937,5}{50\,000}. \]
Calculons le quotient : \[ \frac{1\,937,5}{50\,000} = 0,03875. \]
Enfin, multiplions par 100 pour obtenir le pourcentage : \[ r = 0,03875 \times 100 = 3,875\%. \]
Le taux d’intérêt annuel équivalent qui permet d’obtenir le même montant d’intérêts sur l’ensemble des 50 000 francs est de \(3,875\%\).