Exercice
Une personne disposant de 40000 francs investit 25000 francs à un taux
de \(5\%\). Quel taux doit être
appliqué au reste des fonds pour obtenir un intérêt annuel total de 2125
francs ?
Le taux à appliquer sur les 15000 francs restants est d’environ 5,83%.
Voici la correction détaillée de l’exercice :
Énoncé du problème :
Une personne disposant de 40000 francs investit 25000 francs à un taux
de \(5\%\). On cherche le taux \(t\%\) à appliquer au reste des fonds pour
obtenir un intérêt annuel total de 2125 francs.
Étape 1 : Calcul de l’intérêt obtenu avec les 25000 francs
Le montant investi à \(5\%\) est de 25000 francs. L’intérêt correspondant est calculé par la formule : \[ \text{Intérêt} = \frac{\text{Montant} \times \text{Taux}}{100} \] Ici, le taux est \(5\%\). Ainsi, l’intérêt sur 25000 francs est : \[ \text{Intérêt}_{25000} = \frac{25000 \times 5}{100} = 25000 \times 0,05 = 1250 \text{ francs} \]
Étape 2 : Détermination de l’intérêt restant à obtenir
L’intérêt annuel total souhaité est de 2125 francs. Comme on a déjà obtenu 1250 francs grâce aux 25000 francs, l’intérêt restant à obtenir sur l’investissement des fonds restants est : \[ \text{Intérêt restant} = 2125 - 1250 = 875 \text{ francs} \]
Étape 3 : Calcul du montant restant investi
Le montant total de la personne est de 40000 francs et 25000 francs ont déjà été investis à \(5\%\). Ainsi, le montant restant est : \[ \text{Montant restant} = 40000 - 25000 = 15000 \text{ francs} \]
Étape 4 : Mise en place de l’équation pour trouver le taux \(t\%\)
Le taux à déterminer, noté \(t\%\), doit générer un intérêt de 875 francs pour l’investissement de 15000 francs. L’intérêt généré par cet investissement s’exprime par : \[ \text{Intérêt}_{\text{reste}} = \frac{15000 \times t}{100} \] Nous devons avoir : \[ \frac{15000 \times t}{100} = 875 \]
Étape 5 : Résolution de l’équation
Pour résoudre l’équation, procédons de la manière suivante : \[ 15000 \times t = 875 \times 100 \] \[ 15000 \times t = 87500 \] Divisons ensuite les deux côtés de l’équation par 15000 pour isoler \(t\) : \[ t = \frac{87500}{15000} \] Simplifions la fraction en divisant numérateur et dénominateur par 2500 : \[ t = \frac{87500 \div 2500}{15000 \div 2500} = \frac{35}{6} \] Pour obtenir une valeur décimale, effectuons la division : \[ t \approx 5,8333 \% \]
Conclusion :
Le taux à appliquer sur les 15000 francs restants pour obtenir un intérêt total annuel de 2125 francs est : \[ t = \frac{35}{6} \% \quad \text{soit environ } 5,83 \%. \]
Ainsi, la réponse finale est :
Le taux à appliquer sur le reste des fonds est d’environ \(5,83\%\).