Exercice
Soit une augmentation de \(10\%\) des prix chaque année. Déterminez le pourcentage global d’augmentation après trois ans.
Après trois ans, les prix augmentent de 33,1 %.
Nous voulons déterminer de combien les prix augmentent au total après trois ans, sachant qu’ils augmentent de \(10\%\) chaque année.
Une augmentation de \(10\%\) signifie que, chaque année, le nouveau prix est égal à \(100\% + 10\% = 110\%\) du prix de l’année précédente. En termes de facteur multiplicatif, cela correspond à multiplier par \(1,1\) chaque année.
Si on multiplie par \(1,1\) chaque année, après trois ans le facteur de multiplication est :
\[ 1,1 \times 1,1 \times 1,1 = 1,1^3 \]
Calculons \(1,1^3\) :
\[ 1,1^3 = 1,1 \times 1,1 \times 1,1 = 1,331 \]
Cela signifie que le prix après trois ans est \(1,331\) fois le prix initial.
Le facteur final est \(1,331\). Pour trouver l’augmentation globale en pourcentage, on soustrait \(1\) (soit \(100\%\)) et on multiplie par \(100\%\) :
\[ \text{Pourcentage d'augmentation global} = (1,331 - 1) \times 100\% \]
\[ = 0,331 \times 100\% \]
\[ = 33,1\% \]
Après trois ans, l’augmentation globale des prix est de \(33,1\%\).
Cette méthode montre comment, en appliquant l’augmentation annuelle successivement, le pourcentage global d’augmentation se calcule en montant le facteur multiplicatif à la puissance du nombre d’années et en déterminant l’augmentation par rapport à la valeur initiale.