Exercice
Une marchandise subit une augmentation de \(25\%\). Puis, elle subit une réduction de \(x\%\) qui la ramène à son prix initial. Calculer \(x\).
La réduction à appliquer est de 20%.
Nous cherchons à déterminer le pourcentage \(x\) de réduction qui permet de ramener le prix d’une marchandise, après une augmentation de \(25\%\), à son prix initial.
Soit \(P\) le prix initial de la marchandise.
Après une augmentation de \(25\%\), le nouveau prix devient : \[ P_{\text{augmenté}} = P + 0,25P = 1,25P \]
Lors de la réduction, le prix est diminué de \(x\%\). Le coefficient multiplicateur correspondant à une réduction de \(x\%\) est : \[ 1 - \frac{x}{100} \] Le prix après la réduction est donc : \[ P_{\text{réduit}} = 1,25P \times \left(1 - \frac{x}{100}\right) \]
La réduction doit ramener le prix à \(P\). Donc, on a : \[ 1,25P \times \left(1 - \frac{x}{100}\right) = P \]
On peut simplifier l’équation en divisant par \(P\) (en supposant \(P \neq 0\)) : \[ 1,25 \times \left(1 - \frac{x}{100}\right) = 1 \]
Divisons les deux côtés de l’équation par \(1,25\) : \[ 1 - \frac{x}{100} = \frac{1}{1,25} \]
Calculons \(\frac{1}{1,25}\) : \[ \frac{1}{1,25} = 0,8 \]
L’équation devient alors : \[ 1 - \frac{x}{100} = 0,8 \]
Maintenant, isolons \(\frac{x}{100}\) : \[ \frac{x}{100} = 1 - 0,8 = 0,2 \]
Finalement, multiplions par \(100\) pour trouver \(x\) : \[ x = 0,2 \times 100 = 20 \]
La réduction qui ramène le prix de la marchandise à son prix initial après une augmentation de \(25\%\) est de \(20\%\).