Exercice 135

Exercice

On présente ci-dessous un extrait du tableau indiquant la destination des élèves qui étaient en CO l’année précédente, pour les années 1970 et 1984 :

	1970	1984
Collège de Genève	967	1169
École de Culture Générale	107	388
École de Commerce	304	746
École d’Ingénieurs	75	126
École des Métiers	59	106
Apprentissage	418	628

(D’après l’annuaire statistique de l’éducation, Genève)

On sait qu’en 1970, il y avait 2287 élèves en 9^e au CO et en 1984, 3583 élèves en 9^e au CO.

Calculer la fréquence relative de chaque destination pour chacune de ces deux années et représenter les résultats à l’aide d’un histogramme.

Réponse

En 1970 et 1984, on calcule pour chaque destination la fréquence relative en divisant l’effectif par le total d’élèves (2287 en 1970 et 3583 en 1984). Par exemple, le Collège de Genève représente environ 42,3% en 1970 et 32,6% en 1984. On réalise ensuite un histogramme comparant ces fréquences pour visualiser l’évolution des choix entre les deux années.

Corrigé détaillé

Voici ci-dessous une correction détaillée de l’exercice.

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Analyse de l’exercice

On nous donne un extrait d’un tableau présentant, pour les années 1970 et 1984, le nombre d’élèves en 9^e ayant choisi différentes filières à leur sortie du CO (cours d’orientation). Pour chaque année, le total de la 9^e était respectivement :

• En 1970 : 2287 élèves
  
• En 1984 : 3583 élèves

Les destinations proposées dans le tableau sont :

1. Collège de Genève
   
2. École de Culture Générale
   
3. École de Commerce
   
4. École d’Ingénieurs
   
5. École des Métiers
   
6. Apprentissage

Remarque : La somme des effectifs indiqués dans le tableau (pour chacune des années) est inférieure au total de CO. Cela signifie que d’autres destinations existent (que nous regrouperons sous le terme « Autres ») mais l’exercice demande de calculer la fréquence relative pour chaque destination présentée dans le tableau.

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1. Calcul des fréquences relatives

La fréquence relative d’une destination est obtenue en divisant l’effectif correspondant par le nombre total d’élèves.

Année 1970

Les effectifs pour 1970 sont :

• Collège de Genève : 967
  
• École de Culture Générale : 107
  
• École de Commerce : 304
  
• École d’Ingénieurs : 75
  
• École des Métiers : 59
  
• Apprentissage : 418

Le total indiqué dans l’énoncé est 2287 élèves.

On calcule alors pour chaque destination :

1. Collège de Genève :
   \[ f_{\text{Collège de Genève}} = \frac{967}{2287} \approx 0{,}4229 \quad (\approx 42{,}3\%) \]

2. École de Culture Générale :
   \[ f_{\text{Culture Générale}} = \frac{107}{2287} \approx 0{,}0468 \quad (\approx 4{,}7\%) \]

3. École de Commerce :
   \[ f_{\text{Commerce}} = \frac{304}{2287} \approx 0{,}1329 \quad (\approx 13{,}3\%) \]

4. École d’Ingénieurs :
   \[ f_{\text{Ingénieurs}} = \frac{75}{2287} \approx 0{,}0328 \quad (\approx 3{,}3\%) \]

5. École des Métiers :
   \[ f_{\text{Métiers}} = \frac{59}{2287} \approx 0{,}0258 \quad (\approx 2{,}6\%) \]

6. Apprentissage :
   \[ f_{\text{Apprentissage}} = \frac{418}{2287} \approx 0{,}1828 \quad (\approx 18{,}3\%) \]

Si l’on souhaite obtenir la part des élèves n’ayant pas leur destination détaillée dans le tableau (appelons-la « Autres »), on peut calculer :

• Somme des effectifs du tableau :
  \[ 967+107+304+75+59+418 = 1930 \]
• Effectif restant :
  \[ 2287 - 1930 = 357 \]
• Fréquence relative des « Autres » :
  \[ f_{\text{Autres}} = \frac{357}{2287} \approx 0{,}1561 \quad (\approx 15{,}6\%) \]

Année 1984

Les effectifs pour 1984 sont :

• Collège de Genève : 1169
  
• École de Culture Générale : 388
  
• École de Commerce : 746
  
• École d’Ingénieurs : 126
  
• École des Métiers : 106
  
• Apprentissage : 628

Le total indiqué est 3583 élèves.

Calculons les fréquences :

1. Collège de Genève :
   \[ f_{\text{Collège de Genève}} = \frac{1169}{3583} \approx 0{,}3262 \quad (\approx 32{,}6\%) \]

2. École de Culture Générale :
   \[ f_{\text{Culture Générale}} = \frac{388}{3583} \approx 0{,}1083 \quad (\approx 10{,}8\%) \]

3. École de Commerce :
   \[ f_{\text{Commerce}} = \frac{746}{3583} \approx 0{,}2082 \quad (\approx 20{,}8\%) \]

4. École d’Ingénieurs :
   \[ f_{\text{Ingénieurs}} = \frac{126}{3583} \approx 0{,}0352 \quad (\approx 3{,}5\%) \]

5. École des Métiers :
   \[ f_{\text{Métiers}} = \frac{106}{3583} \approx 0{,}0296 \quad (\approx 3{,}0\%) \]

6. Apprentissage :
   \[ f_{\text{Apprentissage}} = \frac{628}{3583} \approx 0{,}1752 \quad (\approx 17{,}5\%) \]

Pour le groupe « Autres » (les destinations non détaillées dans le tableau) :

• Somme des effectifs du tableau :
  \[ 1169+388+746+126+106+628 = 3163 \]
• Effectif restant :
  \[ 3583 - 3163 = 420 \]
• Fréquence relative des « Autres » :
  \[ f_{\text{Autres}} = \frac{420}{3583} \approx 0{,}1172 \quad (\approx 11{,}7\%) \]

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2. Représentation des résultats à l’aide d’un histogramme

Pour représenter les fréquences relatives, on peut construire un histogramme en suivant ces étapes :

1. Choix de l’axe des abscisses :

   • Liste des destinations (par exemple : “Collège de Genève”, “École de Culture Générale”, “École de Commerce”, “École d’Ingénieurs”, “École des Métiers”, “Apprentissage” et éventuellement “Autres” si l’on souhaite représenter le total).

2. Choix de l’axe des ordonnées :

   • Fréquence relative (exprimée en valeur décimale ou en pourcentage). Par exemple, de 0 à 50 %.

3. Construction des barres :
   Pour chaque destination, construire deux barres côte à côte (ou de couleurs différentes) représentant :

   • La fréquence en 1970
     
   • La fréquence en 1984

   Ainsi, pour chaque catégorie, la hauteur de la barre correspondra à la proportion d’élèves se dirigeant vers cette destination.

4. Ajout d’un titre et d’une légende :

   • Titre de l’histogramme, par exemple « Répartition des destinations des élèves en 9^e au CO en 1970 et 1984 ».
   • Une légende indiquant quelle couleur représente quelle année.

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3. Récapitulatif des fréquences relatives calculées

Pour l’année 1970

• Collège de Genève :
  \(\displaystyle \frac{967}{2287} \approx 42{,}3\%\)
• École de Culture Générale :
  \(\displaystyle \frac{107}{2287} \approx 4{,}7\%\)
• École de Commerce :
  \(\displaystyle \frac{304}{2287} \approx 13{,}3\%\)
• École d’Ingénieurs :
  \(\displaystyle \frac{75}{2287} \approx 3{,}3\%\)
• École des Métiers :
  \(\displaystyle \frac{59}{2287} \approx 2{,}6\%\)
• Apprentissage :
  \(\displaystyle \frac{418}{2287} \approx 18{,}3\%\)
• (Optionnel - Autres) :
  \(\displaystyle \frac{357}{2287} \approx 15{,}6\%\)

Pour l’année 1984

• Collège de Genève :
  \(\displaystyle \frac{1169}{3583} \approx 32{,}6\%\)
• École de Culture Générale :
  \(\displaystyle \frac{388}{3583} \approx 10{,}8\%\)
• École de Commerce :
  \(\displaystyle \frac{746}{3583} \approx 20{,}8\%\)
• École d’Ingénieurs :
  \(\displaystyle \frac{126}{3583} \approx 3{,}5\%\)
• École des Métiers :
  \(\displaystyle \frac{106}{3583} \approx 3{,}0\%\)
• Apprentissage :
  \(\displaystyle \frac{628}{3583} \approx 17{,}5\%\)
• (Optionnel - Autres) :
  \(\displaystyle \frac{420}{3583} \approx 11{,}7\%\)

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Conclusion

Pour répondre à l’exercice :

1. Calcul des fréquences relatives :
   Pour chaque destination on divise l’effectif de la destination par le nombre total d’élèves (respectivement 2287 en 1970 et 3583 en 1984). Ainsi, on obtient par exemple pour le Collège de Genève en 1970 :
   \(\displaystyle 967/2287 \approx 42{,}3\%\), et ainsi de suite pour les autres.

2. Représentation graphique par histogramme :
   On trace un histogramme avec l’axe horizontal représentant les différentes destinations et l’axe vertical la fréquence relative (exprimée en pourcentage). Pour chaque destination, on place deux barres (une pour 1970 et une pour 1984) pour mettre en évidence l’évolution des proportions entre les deux années.

Cette démarche permet de comparer visuellement la répartition des élèves selon leur orientation en 1970 et en 1984.

Voilà la correction complète de l’exercice.