Exercice
Sur un plan, il est indiqué : échelle 1:100.
Réponse courte :
– Le graphique représente une droite passant par l’origine reliant
les points (0, 0), (1, 1), …, (15, 15).
– La fonction est f(x) = x, avec x en cm et f(x) en m.
– Ainsi, f(8) = 8 m, f(12,5) = 12,5 m et f(5) = 5 m.
Voici une correction détaillée de l’exercice :
Sur un plan, il est indiqué : échelle 1:100.
On souhaite :
1. Représenter graphiquement la relation entre la longueur réelle (en m)
et la longueur sur le plan (en cm) pour des valeurs comprises entre 0 et
15 cm.
2. Donner l’expression algébrique de la fonction \(f\) qui associe à la distance sur le plan
(en cm) la distance réelle correspondante (en m).
3. Calculer \(f(8)\), \(f(12,5)\) et \(f(5)\), et interpréter ces résultats.
Analyse de l’échelle :
L’échelle 1:100 signifie qu’une unité de mesure sur le plan correspond à
100 unités dans la réalité.
- Ici, la longueur sur le plan est mesurée en centimètres (cm).
- Pour la réalité, l’unité donnée est le mètre (m).
Conversion :
Puisque 1 mètre = 100 centimètres, on a :
- 1 cm sur le plan correspond à \(100 \text{
cm} = 1 \text{ m}\) en réalité.
Construction du graphique :
- L’axe des abscisses (horizontal) représente la distance sur le plan,
en cm.
- L’axe des ordonnées (vertical) représente la distance réelle, en
m.
Pour des valeurs de \(x\) (distance sur le plan) comprises entre 0 et 15 cm, on aura les points suivants : - Pour \(x = 0\) cm : la distance réelle est \(f(0) = 0\) m. - Pour \(x = 1\) cm : la distance réelle est \(f(1) = 1\) m. - Pour \(x = 2\) cm : la distance réelle est \(f(2) = 2\) m. - \(\dots\) - Pour \(x = 15\) cm : la distance réelle est \(f(15)= 15\) m.
En plaçant ces points sur le graphique, on remarque qu’ils sont alignés de façon linéaire. La droite passe par l’origine et a pour équation \(y = x\) (en prenant \(y\) pour la distance réelle en m et \(x\) pour la distance sur le plan en cm).
On cherche une fonction qui calcule la distance réelle (en m) en fonction de la distance sur le plan (en cm).
Rappel de l’échelle :
1 cm sur le plan correspond à 1 m en réalité.
Expression de la fonction :
Si on note \(x\) la longueur sur le
plan en cm, alors la distance réelle \(f(x)\) (en m) est donnée par :
\[ f(x) = x \]
Cette relation signifie que pour chaque centimètre mesuré sur le plan, on a 1 mètre dans la réalité.
Calculons les valeurs demandées :
Pour \(x = 8\) cm :
\[ f(8) = 8 \quad \text{(en m)} \]
Interprétation : Une distance de 8 cm sur le plan correspond à une distance réelle de 8 m.
Pour \(x = 12,5\) cm :
\[ f(12,5) = 12,5 \quad \text{(en m)} \]
Interprétation : Une distance de 12,5 cm sur le plan correspond à une distance réelle de 12,5 m.
Pour \(x = 5\) cm :
\[ f(5) = 5 \quad \text{(en m)} \]
Interprétation : Une distance de 5 cm sur le plan correspond à une distance réelle de 5 m.
Représentation graphique :
On trace un repère où l’axe \(x\) (de 0
à 15 cm) représente la distance sur le plan et l’axe \(y\) (de 0 à 15 m) représente la distance
réelle. Les points \((0,0)\), \((1,1)\), \((2,2)\), …, \((15,15)\) sont alignés sur une droite
passant par l’origine.
Expression de la fonction :
La fonction associant la distance sur le plan en cm à la distance réelle
en m s’exprime par : \[
f(x) = x.
\]
Calculs :
Ces résultats permettent de conclure que pour chaque valeur donnée de la distance sur le plan (en cm), la distance réelle en mètres est identique.
Cette correction détaillée montre comment passer d’une échelle donnée à la représentation graphique et à la formulation d’une fonction de conversion simple.