Exercice 130

Voici un tableau résumant les tarifs postaux (en francs) pour l’envoi de petits paquets à l’étranger :

Poids	Tarification Europe	Tarification autres pays
Jusqu’à 100 g	1,10	1,40
Pour chaque tranche de 100 g supplémentaires (poids maximum : 1 kg)	0,70	1,10

1. En utilisant le même système d’axes, représenter graphiquement le prix en fonction du poids (de 0 à 1 kg) pour les envois vers l’Europe (en rouge) et pour les autres pays (en vert).

2. S’agit-il d’une situation de proportionnalité ?

3. Olivier envoie un paquet de 350 g au Japon. Quel prix doit-il payer ?

4. Anne envoie un paquet de 540 g en France. Combien doit-elle payer ?

Réponse

Réponse courte :

1. On trace deux courbes en escalier : – Pour l’Europe (en rouge) : (0, 1,10), (100, 1,10), (200, 1,80), (300, 2,50), …, (1000, 7,40). – Pour les autres pays (en vert) : (0, 1,40), (100, 1,40), (200, 2,50), (300, 3,60), …, (1000, 11,30).

2. La relation n’est pas proportionnelle (coût initial ≠ 0 et fonction en paliers).

3. Pour 350 g vers le Japon : 1,40 + 3×1,10 = 4,70 francs.

4. Pour 540 g en France : 1,10 + 5×0,70 = 4,60 francs.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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1) Représentation graphique

On souhaite tracer, dans le même repère, deux courbes (ou segments) qui représentent le prix en fonction du poids pour deux types d’envois. L’échelle du poids est donnée de 0 à 1 kg (c’est-à-dire de 0 g à 1000 g).

a) Première tranche : envoi jusqu’à 100 g

• Pour l’Europe :
  • Tous les paquets pesant jusqu’à 100 g sont facturés 1,10 francs.
    
  • Dans le repère, pour tout \(0 < P \leq 100\) (où \(P\) représente le poids en grammes), la valeur du tarif est constante à 1,10.
    
  • On représente donc un segment horizontal partant du point \((0, 1,10)\) jusqu’au point \((100, 1,10)\).
• Pour les autres pays :
  • Tous les paquets pesant jusqu’à 100 g sont facturés 1,40 francs.
    
  • On trace un segment horizontal allant de \((0, 1,40)\) à \((100, 1,40)\).

b) Tranches supplémentaires : au-delà de 100 g (jusqu’à 1 kg)

Pour chaque tranche de 100 g supplémentaires, on ajoute au tarif initial : - Europe : +0,70 francs par tranche. - Autres pays : +1,10 francs par tranche.

Exemple de points pour l’Europe :

• Pour \(P\) entre 101 g et 200 g, le tarif est : \[ 1,10 + 0,70 = 1,80 \quad \text{francs.} \] On place alors un point en \((200, 1,80)\).

• Pour \(P\) entre 201 g et 300 g, on a : \[ 1,10 + 0,70 \times 2 = 2,50 \quad \text{francs.} \] On place le point \((300, 2,50)\).

• De même, on obtient pour les autres tranches :

  • \((400, 3,20)\) pour 301-400 g,
  • \((500, 3,90)\) pour 401-500 g,
  • \((600, 4,60)\) pour 501-600 g,
  • \((700, 5,30)\) pour 601-700 g,
  • \((800, 6,00)\) pour 701-800 g,
  • \((900, 6,70)\) pour 801-900 g,
  • \((1000, 7,40)\) pour 901-1000 g.

On relie ces points par des segments du type “marches” (c’est une fonction par paliers).
Remarque : On trace en rouge la courbe pour l’Europe.

Pour les autres pays :

• Pour \(P\) entre 101 g et 200 g : \[ 1,40 + 1,10 = 2,50 \quad \text{francs;} \] point en \((200, 2,50)\).

• Pour \(P\) entre 201 g et 300 g : \[ 1,40 + 1,10 \times 2 = 3,60 \quad \text{francs;} \] point en \((300, 3,60)\).

• Ensuite, de façon similaire, on aura :

  • \((400, 4,70)\) pour 301-400 g,
  • \((500, 5,80)\) pour 401-500 g,
  • \((600, 6,90)\) pour 501-600 g,
  • \((700, 8,00)\) pour 601-700 g,
  • \((800, 9,10)\) pour 701-800 g,
  • \((900, 10,20)\) pour 801-900 g,
  • \((1000, 11,30)\) pour 901-1000 g.

Ces points sont reliés par des segments en forme de marches. On trace la courbe en vert pour les envois vers d’autres pays.

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2) Proportionnalité

Pour qu’une relation soit proportionnelle il faut que :

• Le graphique soit une droite passant par l’origine (point \((0, 0)\)).
• Le coefficient de proportionnalité reste constant.

Ici :

• Même si pour certaines portions on a une relation linéaire, le tarif comporte un forfait initial (1,10 pour l’Europe, 1,40 pour les autres pays) dès le moindre envoi (jusqu’à 100 g).
  
• De plus, le coût supplémentaire est appliqué par tranche de 100 g, ce qui engendre une fonction en escalier et non une droite passant par l’origine.

Conclusion : La situation n’est pas une situation de proportionnalité.

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3) Olivier envoie un paquet de 350 g au Japon

Pour le tarif vers « les autres pays », la tarification fonctionne de la façon suivante :

• Jusqu’à 100 g : 1,40 francs.
• Pour chaque tranche de 100 g supplémentaire : +1,10 francs.

Étapes de calcul :

1. Le paquet pèse 350 g.

   • La première tranche de 100 g coûte 1,40 francs.

2. Le poids en plus est :
   \[ 350 - 100 = 250 \text{ g} \]

3. Le coût supplémentaire s’applique par tranche complète ou incomplète de 100 g.

   • De 101 g à 200 g : 1ère tranche supplémentaire
     
   • De 201 g à 300 g : 2ème tranche supplémentaire
     
   • De 301 g à 400 g : 3ème tranche supplémentaire

   Ici, 250 g correspondent à 3 tranches (puisque 250 g dépasse la deuxième tranche et se situe dans la troisième tranche).

4. On a donc :
   \[ \text{Coût total} = 1,40 + 3 \times 1,10 = 1,40 + 3,30 = 4,70 \text{ francs.} \]

Réponse : Olivier doit payer 4,70 francs.

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4) Anne envoie un paquet de 540 g en France

Pour l’envoi vers l’Europe, la tarification est la suivante :

• Jusqu’à 100 g : 1,10 francs.
• Pour chaque tranche de 100 g supplémentaire : +0,70 francs.

Étapes de calcul :

1. Le paquet pèse 540 g.

   • La première tranche (jusqu’à 100 g) coûte 1,10 francs.

2. Le poids restant est :
   \[ 540 - 100 = 440 \text{ g} \]

3. Répartition en tranches supplémentaires :

   • De 101 g à 200 g : 1ère tranche supplémentaire
     
   • De 201 g à 300 g : 2ème tranche supplémentaire
     
   • De 301 g à 400 g : 3ème tranche supplémentaire
     
   • De 401 g à 500 g : 4ème tranche supplémentaire
     
   • De 501 g à 600 g : 5ème tranche supplémentaire

   Ici, 440 g se situe dans la tranche allant de 401 g à 500 g. Mais attention : même si le paquet n’atteint pas 500 g, il faut compter la tranche entière dès que le poids excède 400 g, donc 5 tranches supplémentaires (car 440 g est entre 401 g et 500 g).

4. On calcule alors le coût total : \[ \text{Coût total} = 1,10 + 5 \times 0,70 = 1,10 + 3,50 = 4,60 \text{ francs.} \]

Réponse : Anne doit payer 4,60 francs.

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Récapitulatif des réponses

1. La représentation graphique consiste à tracer deux courbes en escalier sur le même repère (axe horizontal pour le poids, axe vertical pour le tarif) :

   • Courbe rouge pour l’Europe (points : \((0, 1,10)\), \((100, 1,10)\), \((200, 1,80)\), \((300, 2,50)\), …, \((1000, 7,40)\)).
     
   • Courbe verte pour les autres pays (points : \((0, 1,40)\), \((100, 1,40)\), \((200, 2,50)\), \((300, 3,60)\), …, \((1000, 11,30)\)).

2. Ce n’est pas une situation de proportionnalité car le coût initial n’est pas nul et la fonction n’est pas simplement une droite passant par l’origine.

3. Pour un envoi de 350 g au Japon, le tarif à appliquer est de 4,70 francs.

4. Pour un envoi de 540 g en France (Europe), le tarif à payer est de 4,60 francs.

Cette correction détaillée permet de comprendre le fonctionnement des tarifs postaux et le calcul par tranches de poids.