Exercice 129
Dans un parking, la première heure de stationnement est gratuite,
puis le tarif est de 0,50 fr. par demi-heure.
- Représenter le montant à payer en fonction de la durée de
stationnement (de 0 à 12 heures) par un graphique.
- Cette situation relève-t-elle de la proportionnalité ?
- Quel est le montant à payer pour une durée de stationnement de 2
heures et 40 minutes ?
- Si le parcomètre affiche un montant de \(2,50\ \text{fr.}\), quelle est la durée de
stationnement ?
Réponse
- Pour 0 ≤ t ≤ 1h, le tarif est 0; pour t > 1h, chaque demi-heure
entamée coûte 0,50 fr.
- La situation n’est pas proportionnelle.
- Pour 2h40, le montant à payer est 2,00 fr.
- Un tarif de 2,50 fr correspond à 3h30 de stationnement.
Corrigé détaillé
Voici la correction détaillée de l’exercice.
Énoncé
Dans un parking, la première heure de stationnement est gratuite,
puis le tarif est de 0,50 fr. par demi-heure.
Nous devons répondre aux questions suivantes :
- Représenter le montant à payer en fonction de la durée de
stationnement (de 0 à 12 heures) par un graphique.
- Cette situation relève-t-elle de la proportionnalité ?
- Quel est le montant à payer pour une durée de stationnement de 2
heures et 40 minutes ?
- Si le parcomètre affiche un montant de \(2,50\ \text{fr.}\), quelle est la durée de
stationnement ?
Partie
1 : Représenter le montant à payer en fonction de la durée
Analyse du problème
- Pour tout temps \(t\) (exprimé en
heures) inférieur ou égal à 1 heure, le montant à payer
est nul.
- Pour \(t > 1\), le temps
supplémentaire (après la première heure) est payé par tranches de 30
minutes. Chaque tranche (ou demi-heure) coûte 0,50 fr.
On peut définir la fonction \(f(t)\)
qui donne le montant à payer en fonction du temps \(t\) de stationnement par :
\[
f(t) =
\begin{cases}
0 & \text{si } 0 \le t \le 1, \\
0,50 \times \text{(nombre de demi-heures entamées au-delà de 1 h)} &
\text{si } t > 1.
\end{cases}
\]
Notez que la « prise en charge » d’une demi-heure est faite dès
qu’elle est entamée. Autrement dit, si le temps dépasse une demi-heure
supplémentaire, le coût de la demi-heure complète est appliqué.
Construction du graphique
Pour tracer le graphique de \(f(t)\)
:
- Axe des abscisses (temps \(t\)) : représente la durée de
stationnement allant de 0 à 12 heures.
- Axe des ordonnées (coût \(f(t)\)) : représente le montant à
payer, en francs.
Étapes de la construction :
- Pour \(0 \le t \le 1\) :
- La fonction est constante égale à 0. Sur le graphique, on trace une
ligne horizontale sur l’intervalle de 0 à 1 au niveau de \(f(t)=0\).
- Pour \(t > 1\) :
- La fonction est une fonction « par paliers ».
- Par exemple :
- Pour \(t\) entre 1 heure et 1 heure
30 minutes (non inclus 1h30), le montant est de \(0,50\) fr.
- Pour \(t\) entre 1h30 et 2 heures,
le montant est de \(1,00\) fr.
- Pour \(t\) entre 2 h et 2h30, le
montant est de \(1,50\) fr, et ainsi de
suite.
Sur le graphique, on aura donc une série de segments horizontaux avec
des sauts verticaux aux moments où une nouvelle demi-heure est entamée.
Chaque segment s’étend sur 30 minutes (0,5 heure) d’une valeur
constante, puis il y a une discontinuité (saut vers le haut) au début de
la tranche suivante.
Partie 2 : Proportionnalité
Une situation est proportionnelle si, en multipliant la durée par un
facteur, le montant à payer est multiplié par le même facteur.
Ici, deux points importants montrent que la relation n’est pas
proportionnelle :
- Gratuité de la première heure : Pour toute durée
\(0 \le t \le 1\), le montant est 0, ce
qui rompt la constante de proportionnalité.
- Fonction par paliers : Au-delà de 1 heure, le
montant n’augmente par paliers discrets (0,50 fr toutes les
demi-heures), et non de manière linéaire continue.
Conclusion : La situation n’est pas
proportionnelle.
Partie 3
: Calcul du montant pour 2 heures et 40 minutes
Étape 1 : Conversion du temps
2 heures et 40 minutes se convertissent en heures : \[
2\,\text{h} + \frac{40}{60}\,\text{h} = 2 + \frac{2}{3} \approx
2,67\,\text{heures}.
\]
Étape 2 : Calcul du temps
payant
- La première heure est gratuite.
- La durée payante est donc : \[
2,67\,\text{h} - 1\,\text{h} = 1,67\,\text{heures} \quad (\text{soit
environ } 1\,\text{h} 40\,\text{min}).
\]
Étape 3
: Détermination du nombre de demi-heures entamées
La durée payante de 1,67 heures correspond à : \[
\frac{1,67}{0,5} \approx 3,33 \quad \text{demi-heures.}
\]
Comme dès qu’une demi-heure est entamée le tarif complet s’applique,
il faut arrondir ce nombre au nombre entier supérieur.
Ainsi, 3,33 demi-heures donnent 4 demi-heures à payer.
Étape 4 : Calcul du montant
Chaque demi-heure coûte 0,50 fr.
Le montant total est donc : \[
4 \times 0,50 = 2,00\,\text{fr.}
\]
Réponse : Pour 2 heures et 40 minutes, le montant à
payer est de \(2,00\,\text{fr.}\).
Partie
4 : Durée de stationnement pour un montant de \(2,50\,\text{fr.}\)
Étape 1 :
Détermination du nombre de demi-heures payées
Chaque demi-heure coûte 0,50 fr.
Si le parcomètre affiche 2,50 fr., le nombre de demi-heures facturées
après la première heure est : \[
\frac{2,50}{0,50} = 5\,\text{demi-heures}.
\]
Étape 2 :
Calcul de la durée totale de stationnement
- La première heure est gratuite.
- Les 5 demi-heures représentent : \[
5 \times 0,5 = 2,5\,\text{heures}.
\]
- La durée totale de stationnement est donc : \[
1\,\text{h (gratuite)} + 2,5\,\text{h} = 3,5\,\text{heures},
\] ce qui correspond à 3 heures et 30 minutes.
Réponse : Si le parcomètre affiche \(2,50\,\text{fr.}\), la durée de
stationnement est de 3 heures et 30 minutes.
Conclusion
- Le graphique de la fonction \(f(t)\) se présente comme suit :
- Pour \(0 \le t \le 1\) heure, \(f(t)=0\).
- Pour \(t > 1\), la fonction est
par paliers : chaque intervalle de 30 minutes entamé ajoute 0,50 fr au
montant.
- La situation n’est pas proportionnelle en raison de
la gratuité initiale et de la facturation par tranches.
- Pour 2 heures et 40 minutes, le montant à payer est de \(2,00\,\text{fr.}\)
- Pour un montant de \(2,50\,\text{fr.}\), la durée de
stationnement est de 3 heures et 30 minutes.
Cette correction vous aide à comprendre, étape par étape, comment
modéliser la situation, interpréter le système tarifaire et calculer le
montant dû selon différents scénarios.