Représentez une chambre rectangulaire de dimensions \[ 3\,\text{m} \times 4\,\text{m} \] sur différents formats de feuille en choisissant l’échelle la plus appropriée parmi les suivantes : \[ 1:5,\quad 1:50,\quad 1:10,\quad 1:100,\quad 1:20,\quad 1:200,\quad 1:40,\quad 1:250. \]
Une feuille de format A4 (\(210\,\text{mm} \times 297\,\text{mm}\)).
Une feuille de format A3 (\(297\,\text{mm} \times 420\,\text{mm}\)).
Une feuille de dimensions \(50\,\text{cm} \times 70\,\text{cm}\).
Déterminez l’échelle la plus appropriée pour chacun de ces cas.
Nous allons déterminer, pour chaque format de feuille, la plus grande échelle (c’est‐à‐dire le rapport le plus petit « n » dans l’échelle 1:n parmi ceux proposés) qui permette de représenter une chambre de \(3\,\mathrm{m}\) par \(4\,\mathrm{m}\) sans que le dessin ne dépasse les dimensions de la feuille.
Pour être certain que le dessin « tient » sur la feuille, les
dimensions réduites doivent être inférieures ou égales à celles de la
feuille. Pour travailler dans les mêmes unités, nous exprimons tout en
millimètres (mm) :
- La chambre mesure \(3\,\mathrm{m} =
3000\,\mathrm{mm}\) et \(4\,\mathrm{m}
= 4000\,\mathrm{mm}\).
- Par exemple, pour une échelle \(1:n\)
la dimension réduite d’un côté est donnée par
\[
\text{dimension dessinée}=\frac{\text{dimension réelle}}{n}.
\]
On rappelle les échelles proposées : \[ 1:5,\quad 1:10,\quad 1:20,\quad 1:40,\quad 1:50,\quad 1:100,\quad 1:200,\quad 1:250. \]
Nous allons examiner les trois cas.
Un format A4 a des dimensions \(210\,\mathrm{mm} \times
297\,\mathrm{mm}\).
Il faut orienter le dessin de la chambre dans le sens qui permet
d’utiliser au mieux la feuille. Par exemple, considérons d’abord que
l’on place la dimension de \(3000\,\mathrm{mm}\) (3 m) dans le sens
court (210 mm) et \(4000\,\mathrm{mm}\)
(4 m) dans le sens long (297 mm).
Pour que le dessin tienne, il faut que : \[
\frac{3000}{n}\le 210\quad\text{et}\quad \frac{4000}{n}\le 297.
\] On résout chacune : - Pour le côté de 3 m :
\[
n\ge \frac{3000}{210}\approx 14,29.
\] - Pour le côté de 4 m :
\[
n\ge \frac{4000}{297}\approx 13,47.
\]
Le coefficient minimal nécessaire est donc d’environ \(14,29\).
Parmi les rapports proposés, le plus faible rapport admis (c’est-à-dire
la plus grande réduction tout en restant sur la feuille) est celui pour
lequel \(n\) est supérieur ou égal à
\(14,29\).
Les échelles proposées commençant par \(n=5\) ou \(10\) donneraient un dessin trop grand (par
exemple, à \(1:10\) la chambre serait
dessinée en \(3000/10=300\,\mathrm{mm}\) et \(4000/10=400\,\mathrm{mm}\), ce qui dépasse
210 et 297 mm).
Le premier rapport de la liste qui respecte \(n\ge 14,29\) est \(1:20\) (puisque \(20>14,29\)).
Conclusion pour A4 : L’échelle la plus appropriée est \(\displaystyle 1:20\).
Le format A3 a des dimensions \(297\,\mathrm{mm} \times 420\,\mathrm{mm}\).
Il est souvent possible de choisir l’orientation (portrait ou paysage)
pour optimiser l’emploi de la feuille.
Examinons d’abord la situation en position « naturelle » (portrait) en
affectant \(3000\,\mathrm{mm}\) à la
largeur (297 mm) et \(4000\,\mathrm{mm}\) à la hauteur (420
mm).
Les contraintes sont : \[
\frac{3000}{n}\le 297\quad\text{et}\quad \frac{4000}{n}\le 420.
\] On calcule : - Pour le côté de 3 m :
\[
n\ge \frac{3000}{297}\approx 10,10.
\] - Pour le côté de 4 m :
\[
n\ge \frac{4000}{420}\approx 9,52.
\]
Le coefficient minimal nécessaire est ainsi \(\approx 10,10\).
Parmi les rapports proposés, on note que l’échelle \(1:10\) correspond à \(n=10\) mais \(10\) est légèrement
inférieur à \(10,10\)
(ce qui donnerait, par exemple, pour le côté de 3 m : \(3000/10=300\,\mathrm{mm}\) alors que la
feuille mesure 297 mm). Même en changeant l’orientation du dessin, une
des dimensions dépassera la taille maximale de la feuille.
Par conséquent, pour être certain que le dessin tienne sans dépassement,
il faut choisir le rapport suivant, c’est-à-dire \(1:20\) (puisque \(20>10,10\)).
Conclusion pour A3 : L’échelle la plus appropriée est \(\displaystyle 1:20\).
Convertissons ces dimensions en millimètres : \[
50\,\mathrm{cm}=500\,\mathrm{mm}\quad\text{et}\quad
70\,\mathrm{cm}=700\,\mathrm{mm}.
\] On cherche le plus grand rapport \(1:n\) tel que : \[
\frac{3000}{n}\le 500\quad\text{et}\quad \frac{4000}{n}\le 700.
\] Calculons : - Pour le côté de 3 m :
\[
n\ge \frac{3000}{500}=6.
\] - Pour le côté de 4 m :
\[
n\ge \frac{4000}{700}\approx 5,71.
\]
La contrainte la plus forte est \(n\ge
6\).
Parmi les échelles proposées, vérifions celle qui donne le dessin le
plus grand (c’est-à-dire le plus petit \(n\)) sans dépasser les dimensions
disponibles.
- À l’échelle \(1:5\) (donc \(n=5\)), on aurait :
\(\frac{3000}{5} = 600\,\mathrm{mm}\)
et \(\frac{4000}{5} =
800\,\mathrm{mm}\).
Or \(600\,\mathrm{mm} >
500\,\mathrm{mm}\) et \(800\,\mathrm{mm} > 700\,\mathrm{mm}\) :
le dessin ne tiendrait pas sur la feuille. - L’échelle \(1:10\) (donc \(n=10\)) donne :
\(\frac{3000}{10} = 300\,\mathrm{mm}\)
et \(\frac{4000}{10}=
400\,\mathrm{mm}\).
Ces dimensions s’inscrivent parfaitement dans une feuille de \(500\,\mathrm{mm} \times
700\,\mathrm{mm}\).
Ainsi, parmi les rapports proposés, \(1:10\) est le plus grand (c’est-à-dire celui qui agrandit le dessin autant que possible) tout en restant dans le format donné.
Conclusion pour la feuille de \(50\,\mathrm{cm} \times 70\,\mathrm{cm}\) : L’échelle la plus appropriée est \(\displaystyle 1:10\).
Ces choix garantissent que le dessin de la chambre, après réduction, rentrera dans les dimensions de chaque feuille tout en étant le plus grand possible au sein des rapports proposés.