La pyramide de Chéops en Égypte possède une base carrée. Sa hauteur est de \(138\text{ m}\) et la pente de ses faces latérales est de \(120\%\). Calculer l’aire de la base de la pyramide.
L’aire de la base de la pyramide est de 52900 m².
Voici la correction détaillée de l’exercice :
Énoncé du problème :
La pyramide de Chéops en Égypte possède une base carrée. Sa hauteur est de \(138\,\text{m}\) et la pente de ses faces latérales est de \(120\%\). Calculer l’aire de la base de la pyramide.
Analyse et démarche :
Comprendre la notion de pente en pourcentage :
Une pente de \(120\%\) signifie que pour une avance horizontale de \(1\) m, on monte de \(1,2\) m. Autrement dit, le rapport entre le dénivelé (la montée verticale) et la distance horizontale est de \(1,2\).
Modéliser la situation géométriquement :
Soit \(a\) la longueur du côté de la base carrée.
Soit \(O\) le centre de la base.
Soit \(A\) le sommet de la pyramide (l’apex).
Soit \(M\) le milieu d’un côté de la base.
Dans une pyramide à base carrée régulière, le sommet est positionné verticalement au-dessus du centre de la base. Par conséquent, le segment \(AO\) représente la hauteur verticale de la pyramide, qui est de \(138\,\text{m}\), et le segment \(OM\) est la distance horizontale entre le centre \(O\) et le milieu \(M\) d’un côté, ce qui vaut :
\[ OM = \frac{a}{2} \]
Relier la pente à la géométrie de la pyramide :
Considérons la face latérale qui est un triangle isocèle. L’altitude de ce triangle, c’est-à-dire le segment \(AM\) (du sommet à \(M\)), est l’« escalier inclinée » dont la pente est indiquée.
Dans le plan contenant les points \(A\) et \(M\), la décomposition en vertical et horizontal est la suivante :
Le rapport (la tangente de l’angle d’inclinaison) s’exprime ainsi :
\[ \tan\theta = \frac{\text{élévation verticale}}{\text{composante horizontale}} = \frac{138}{a/2} \]
La pente de \(120\%\) correspond à un rapport de \(1,2\) :
\[ \tan\theta = 1,2 \]
Ainsi, on a l’équation :
\[ 1,2 = \frac{138}{a/2} \]
Rechercher la longueur \(a\) du côté de la base :
Pour résoudre l’équation, procédons étape par étape :
\[ 1,2 = \frac{138}{\frac{a}{2}} \]
Pour simplifier, multiplions numérateur et dénominateur :
\[ 1,2 = \frac{138 \times 2}{a} = \frac{276}{a} \]
D’où :
\[ a = \frac{276}{1,2} \]
Calculons :
\[ a = \frac{276}{1,2} = 230\,\text{m} \]
Calculer l’aire de la base :
La base est un carré de côté \(a = 230\,\text{m}\). Son aire est :
\[ \text{Aire} = a^2 = 230^2 = 52900\,\text{m}^2 \]
Conclusion :
L’aire de la base de la pyramide est donc :
\[ \boxed{52900\,\text{m}^2} \]