Déterminez la pente des rayons solaires sachant qu’un piquet vertical de \(1\,\text{m}\) projette une ombre de \(2\,\text{m}\).
À la même heure et au même endroit, calculez la hauteur d’un sapin qui projette une ombre de \(20\,\text{m}\).
Pente = ½ (0,5) et hauteur du sapin = 10 m.
Voici la correction détaillée de l’exercice :
Données :
- Piquet vertical de \(1\,\text{m}\)
projette une ombre de \(2\,\text{m}\).
- La même heure et au même endroit, un sapin projette une ombre de \(20\,\text{m}\).
Étape 1 : Modélisation du problème
On considère que le soleil crée des triangles rectangles. Pour le piquet, le triangle rectangle a : - Une hauteur (opposée) de \(1\,\text{m}\). - Une longueur de l’ombre (adjacente) de \(2\,\text{m}\).
Étape 2 : Définir la pente
La pente des rayons solaires est le rapport de la hauteur (du piquet) à la longueur de son ombre. Ceci correspond à la tangente de l’angle d’élévation du soleil.
On a donc :
\[
\text{pente} = \tan(\theta) = \frac{\text{hauteur}}{\text{ombre}} =
\frac{1}{2}.
\]
Donc, la pente vaut \(\dfrac{1}{2}\) ou \(0,5\).
Étape 3 : Interprétation
Cela signifie que pour chaque \(2\,\text{m}\) parcourus horizontalement, l’élévation verticale est de \(1\,\text{m}\).
Étape 1 : Utiliser la même pente
Comme les rayons solaires sont les mêmes pour le piquet et le sapin
(même heure et même lieu), le rapport entre la hauteur de l’objet et la
longueur de son ombre est constant.
Pour le sapin, on note \(h\) sa hauteur
et on sait que son ombre mesure \(20\,\text{m}\).
Étape 2 : Établir la proportion
La proportion s’écrit :
\[
\frac{h}{20} = \frac{1}{2}.
\]
Étape 3 : Résoudre l’équation
On multiplie chaque côté de l’équation par 20 pour isoler \(h\) : \[ h = \frac{1}{2} \times 20. \] \[ h = 10. \]
Étape 4 : Conclusion
La hauteur du sapin est donc de \(10\,\text{m}\).
Cette correction permet de comprendre que grâce au principe de triangles semblables, on peut utiliser un rapport constant pour retrouver des valeurs inconnues à partir de mesures observées.